Question

6．已知如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC，AD=CD，DE⊥CD交AB于E．
（1）求證：△ADE是等腰三角形．
（2）若BE+BC=4，求四邊形BCDE的面積．

Answer 1

分析 （1）連接AC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠DAC=∠DCA，∠BAC=∠BCA，即可得出∠DAB=∠BCD，根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理得到∠DEB+∠BCD=180°，進而可得出∠AED=∠BCD，即可得出∠DAB=∠AED，根據(jù)等腰三角形的判定即可證得結(jié)論，
（2）連接CE，根據(jù)BE+BC=4，得出（BE+BC）²=16，進一步得出BE²+BC²+2BE•BC=16，然后根據(jù)勾股定理和三角形面積公式即可得到4×$\frac{1}{2}$CD²+4×$\frac{1}{2}$BE•BC=16，即可證得S_△DCE+S_△BEC=4，即四邊形BCDE的面積=4．

解答 （1）證明：連接AC，
∵AB=BC，AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA，∠BAC=∠BCA，
∴∠DAC+∠BAC=∠DCA+∠BCA，
即∠DAB=∠BCD，
∵∠ABC=90°，DE⊥CD，
∴∠DEB+∠BCD=180°，
∵∠AED+∠DEB=180°，
∴∠AED=∠BCD，
∴∠DAB=∠AED，
∴AD=ED，
∴△ADE是等腰三角形；
（2）解：連接CE，
∵BE+BC=4，
∴（BE+BC）²=16，
∴BE²+BC²+2BE•BC=16，
∵BE²+BC²=CE²=CD²+DE²，
∵CD=DE，
∴CE²=2CD²，
∴CE²=4×$\frac{1}{2}$CD²，
∴4×$\frac{1}{2}$CD²+4×$\frac{1}{2}$BE•BC=16，
∴4S_△DCE+4S_△BEC=16，
∴S_△DCE+S_△BEC=4，
即四邊形BCDE的面積=4．

點評 本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和定理，勾股定理的應(yīng)用以及三角形面積等，證得∠DAB=∠BCD是解題的關(guān)鍵．