Question

【題目】如圖，點D在△ABC的邊AB上，點E為AC的中點，過點C作CF∥AB交DE的延長線于點F，連接AF．
（1）求證：CD=AF；
（2）若∠AED=2∠ECD，求證：四邊形ADCF是矩形．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵CF∥AB，

∴∠EFC=∠ADE，

則在△AED和△CFE中，

，

∴△AED≌△CFE，

∴DE=FE，

又∵AE=CE，

∴四邊形ADCF是平行四邊形，

∴CD=AF

（2）證明：∵∠AED=2∠ECD，∠AED=∠ECD+∠EDC，

∴∠EDC=∠ECD，

∴DE=EC，

又∵DE=FE，AE=CE，

∴AC=DF，

∴平行四邊形ADCF是矩形．

【解析】（1）首先證明△AED≌△CFE，即可證得四邊形ADCF的對角線互相平分，依據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形即可證得；（2）利用三角形的外角的性質(zhì)即可證得∠EDC=∠ECD，則根據(jù)等角對等邊即可證得DE=EC，從而證明平行四邊形ADCF的對角線相等，即可證得．
【考點精析】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)和矩形的判定方法的相關(guān)知識點，需要掌握若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積；有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形；有三個角是直角的四邊形是矩形；兩條對角線相等的平行四邊形是矩形才能正確解答此題．