Question

如圖1，已知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為BC=2cm，寬AC=1cm，高AA′=4cm．
（1）一只螞蟻如果沿長(zhǎng)方體的表面從A點(diǎn)爬到B′點(diǎn)，那么沿哪條路最近？最短路程是多少？
（2）如圖2，若在長(zhǎng)方體的表面A′B′C′D′上放一個(gè)底面圓最大的圓錐體，且圓錐底面在四邊形A′B′C′D′內(nèi)，設(shè)圓心為O，試判斷∠A′0C′的度數(shù)范圍．（不要求計(jì)算過(guò)程）

Answer 1

解：（1）根據(jù)題意，如下圖所示，最短路徑有以下三種情況：
①沿AA′，A′C′，C′B′，B′B剪開，得圖（1）AB′²=AB²+BB′²=（2+1）²+4²=25，
②沿AC，CC′，C′B′，B′D′，D'A'，A′A剪開，得圖（2）AB′²=AC²+B′C²=1²+（4+2）²=37，
③沿AD，DD′，B′D′，C′B′，C′A′，AA′剪開，得圖（3）AB′²=AD²+B′D²=2²+（4+1）²=29，
綜上所述，最短路徑應(yīng)為（1）所示，
所以AB′²=25，
即AB′=5cm，
答：最短路徑為（1）所示5cm；

（2）要保證底面圓最大，必須使得圓與長(zhǎng)方形的兩條長(zhǎng)邊相切，則此時(shí)圓的半徑長(zhǎng)為，
當(dāng)圓與A′C′相切時(shí)，∠A′0C′最大，此時(shí)為90°；
當(dāng)圓與B′D′相切時(shí)，E為切點(diǎn)，∠A′0C′最小，此時(shí)，A′E=，OE=，tan∠A′0E=
所以∠A′0E≈18.4°，∠A′0C′≈36.8°，
∠A′OC′的度數(shù)范圍為36.8°≤∠A′OC′≤90°．
分析：（1）要求長(zhǎng)方體中兩點(diǎn)之間的最短路徑，最直接的作法，就是將正方體展開，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短解答．
（2）要保證底面圓最大，必須使得圓與長(zhǎng)方形的兩條長(zhǎng)邊相切，分圓與A′C′相切、圓與B′D′相切兩種情況求得∠A′0C′的度數(shù)范圍．
點(diǎn)評(píng)：考查了平面展開-最短路徑問題，將長(zhǎng)方體從不同角度展開，是解決此類問題的關(guān)鍵，注意不要漏解．同時(shí)考查了切線的性質(zhì)和分類思想．