Question

拋物線y=ax²-4ax+b經(jīng)過(guò)A（1，0），F(xiàn)（4，-3），與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于另一點(diǎn)B．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，連接PC，將線段PC繞著P點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至線段PC₁，使得C₁落在拋物線上？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）點(diǎn)D是拋物線在x軸上方部分的一點(diǎn)，過(guò)D作DE∥AC與y軸交于E，且四邊形ACED是等腰梯形，求出D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）將A、F兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式可求a、b的值，確定拋物線解析式；
（2）由（1）可知，拋物線對(duì)稱軸為x=2，設(shè)P（2，t）利用垂直關(guān)系構(gòu)造兩個(gè)三角形全等，可得C₁（t+5，t-2），將C₁點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式求t即可；
（3）延長(zhǎng)DA交y軸于點(diǎn)M，由等腰梯形構(gòu)造等腰三角形，可得MA=MC，在Rt△AOM中，由勾股定理求OM，根據(jù)A、M兩點(diǎn)坐標(biāo)求直線AD解析式，與拋物線解析式聯(lián)立，求D點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）把A（1，0），F(xiàn)（4，-3）代入y=ax²-4ax+b中，
得

a-4a+b=0 16a-16a+b=-3

，
解得

a=-1 b=-3

，
∴y=-x²+4x-3；

（2）如圖1，設(shè)P（2，t），
分別過(guò)C、C′作對(duì)稱軸的垂線，垂足為G、H，
∵PC=PC′，∠CPC′=90°，由互余關(guān)系可證△PCG≌△C′PH，
∴PH=CG=2，HC′=PG=t+3，
則C₁（t+5，t-2），代入y=-x²+4x-3中，得
t-2=-（t+5）²+4（t+5）-3，
解得t=-1或t=-6．
∴P（2，-1）或P（2，-6）

（3）如圖2，延長(zhǎng)DA交y軸于點(diǎn)M，依題意，
∠CED=∠ADE，MD=ME，則MA=MC，
在Rt△AOM中，OM²+OA²=AM²，即OM²+1²=（3-OM）²，
解得OM=

4

3

，
∴直線DA的解析式是y=

4

3

x-

4

3

，
聯(lián)立

y= 4 3 x- 4 3 y=-x2+4x-3

，
解得

x=1 y=0

或

x= 5 3 y= 8 9

，
∴D（

5

3

，

8

9

）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)已知條件求拋物線解析式，由互余關(guān)系，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)構(gòu)造全等三角形，由等腰梯形構(gòu)造等腰三角形，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．