Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=60°，AD=DC=CB=2，點(diǎn)P是AD上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)且AP=AQ，在等腰梯形ABCD內(nèi)以PQ為一邊作矩形PQMN，點(diǎn)N在CD上．設(shè)AQ=x，矩形PQMN的面積為y．
（1）求等腰梯形ABCD的面積；
（2）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)x為何值時(shí)，矩形PQMN是正方形；
（4）矩形PQMN面積最大時(shí)，將△PQN沿NQ翻折，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P’，請(qǐng)判斷此時(shí)△BMP’的形狀．

Answer 1

解：（1）過(guò)C作CE∥AD交AB于E，CF⊥AB于F，
∵DC∥AB，CE∥AD，
∴四邊形ADCE是平行四邊形，
∴AE=CD=2，AD=CE=BC，∠A=∠CEB=60°，
∴△CEB是等邊三角形，
∴BE=CE=2，
∴AB=4，BF=EF=1，
由勾股定理得：CF=，

．

（2）如圖（2）：
由題知，AP=AQ=x，∠A=60°，△APQ為等邊三角形，
則PQ=x，
∵∠NPQ=90°，∠APQ=60°，
∴∠DPN=30°，
又∠D=120°，
∴∠DNP=30°，
則DP=DN=2-x，
作DE⊥PN于點(diǎn)E，
在Rt△DPE中，DP=2-x，∠DPE=30°，
則，
∵DP=DN，DE⊥PN，
則PN=，
，
∴y與x的函數(shù)關(guān)系式是y=-x²+2x．

（3）由題意得，PQ=PN，
∴，
，
∴當(dāng)x=3-時(shí)，矩形PQMN是正方形．

（4），
當(dāng)x=1時(shí)，，
∠AQP=60°，
∠PQN=60°，
∠NQB=60°，
∴P′在AB上，
又QP=QP′=1，
∴AP′=2，
MP′=P′Q=1，BP′=2，
過(guò)M作MH⊥AB于H，連接QN，
∵M(jìn)N=2，MQ=，
∴由勾股定理得：QN=2，∠NQM=30°，
∴∠MQB=60°-30°=30°，
∴MH=，QH=，
∴BH=4-1-=，
由勾股定理得：BM=，
在Rt△BMQ中，，
∴△BMP′為直角三角形．
分析：（1）過(guò)C作CE∥AD交AB于E，CF⊥AB于F，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和判定求出AE、CE，得出等邊三角形CEB，求出高SF的長(zhǎng)即可；
（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和判定求出PQ=x，DP=2-x，作DE⊥PN于點(diǎn)E，求出∠DPE=30°，求出DE，根據(jù)勾股定理求出PN，根據(jù)面積公式求出即可；
（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)得出PQ=PN，代入求出x即可；
（4）求出x值，根據(jù)x的值求出∠AQP=∠PDN=∠BQN=60°，過(guò)M作MH⊥AB于H，連接QN，求出MH、BM、P′M、BP′的值，根據(jù)勾股定理的逆定理求出即可．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了等腰梯形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，勾股定理，二次函數(shù)的最值，翻折變換，正方形的判定等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，此題是一道難度較大的題目，綜合性比較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生提出了較高的要求，通過(guò)做此題培養(yǎng)了學(xué)生的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．