Question

【題目】已知：如圖，在中，，，垂足為點，是外角的平分線，，垂足為點，連接交于點．

求證：四邊形為矩形；

當滿足什么條件時，四邊形是一個正方形？并給出證明．

在的條件下，若，求正方形周長．

Answer 1

【答案】證明見解析；（2）且時，四邊形是一個正方形；（3）8.

【解析】

（1）根據(jù)已知條件證明∠DAE=90°，已知CE⊥AN，AD⊥BC，根據(jù)有三個角是直角的四邊形是矩形，可以證明四邊形ADCE為矩形；（2）且時，四邊形是一個正方形，根據(jù)添加的條件證明，即可判定四邊形ADCE為正方形；（3）根據(jù)勾股定理求得AD的長，根據(jù)正方形的性質即可求得正方形ADCE周長．

證明：∵，，垂足為點，

∴．

∵是外角的平分線，

∴．

∵與是鄰補角，

∴，

∴．

即∠DAE=90°，

∵，，

∴，

∴四邊形為矩形；

且時，四邊形是一個正方形，

證明：∵且，，

∴，，

∴，

∴．

∵四邊形為矩形，

∴四邊形為正方形；

由勾股定理，得

，，

即，

，

正方形周長．