Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為矩形，AB＝4cm，AD＝3cm，動(dòng)點(diǎn)M、N分別從D、B同時(shí)出發(fā)，都以1cm/秒的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M沿DA向點(diǎn)終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)N作NP⊥BC，交AC于點(diǎn)P，連接MP，已知運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（0＜t＜3）．

（1）當(dāng)t＝1秒時(shí)，求出PN的長(zhǎng)；

（2）若四邊形CDMP的面積為s，試求s與t的函數(shù)關(guān)系式；

（3）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻t使四邊形CDMP的面積與四邊形ABCD的面積比為3：8，若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（4）在點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△MPA能否成為一個(gè)等腰三角形？若能，試求出所有t的可能值；若不能，試說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，；（4）能，當(dāng)t＝1或t＝ 或t＝時(shí)，△MPA是等腰三角形.

【解析】

(1)由t＝1知BN＝1、CN＝BC﹣BN＝2，證△PNC∽△ABC得，據(jù)此可得答案；

(2)延長(zhǎng)NP交AD于點(diǎn)Q，則PQ⊥AD，由△PNC∽△ABC得，據(jù)此得出PN＝4﹣t、PQ＝t，根據(jù)S四邊形CDMP＝S△ACD﹣S△AMP可得；

(3)求出矩形ABCD的面積，然后由題意可得關(guān)于t的方程，解方程即可求得答案；

(4)本題要分三種情況：①M(fèi)P＝PA，那么AQ＝BN＝AM，可用x分別表示出BN和AM的長(zhǎng)，然后根據(jù)上述等量關(guān)系可求得x的值．②MA＝MP，在直角三角形MQP中，MQ＝MA﹣BN，PQ＝AB﹣PN根據(jù)勾股定理即可求出x的值．③MA＝PA，不難得出AP＝BN，然后用x表示出AM的長(zhǎng)，即可求出x的值．

(1)當(dāng)t＝1時(shí)，BN＝1、CN＝BC﹣BN＝2，

∵PN⊥BC，

∴∠PNC＝∠B＝90°，

∴PN∥AB，

∴△PNC∽△ABC，

∴，即，

∴PN＝；

(2)如圖，延長(zhǎng)NP交AD于點(diǎn)Q，則PQ⊥AD，

由題意知，DM＝BN＝t，AM＝CN＝3﹣t，

∵PN∥AB，

∴△PNC∽△ABC，

∴，即，

解得：PN＝(3﹣t)＝4﹣t，

∵PQ⊥AD，

∴∠QAB＝∠B＝∠NQA＝90°，

∴四邊形ABNQ是矩形，

則AB＝QN＝4，

∴PQ＝QN﹣PN＝4﹣(4﹣t)＝t，

∴四邊形CDMP的面積s＝×3×4﹣×(3﹣t)×t＝t2﹣2t+6；

(3)∵S矩形ABCD＝3×4＝12，

∴，

解得：t＝，

所以t＝時(shí)四邊形CDMP的面積與四邊形ABCD的面積比為3：8；

(4)△MPA能成為等腰三角形，共有三種情況，以下分類說(shuō)明：

①若PM＝PA，

∵PQ⊥MA，

∴四邊形ABNQ是矩形，

∴QA＝NB＝t，

∴MQ＝QA＝t，

又∵DM+MQ+QA＝AD

∴3t＝3，即t＝1

②若MP＝MA，則MQ＝3﹣2t，PQ＝t，MP＝MA＝3﹣t，

在Rt△PMQ中，由勾股定理得：MP2＝MQ2+PQ2

∴(3﹣t)2＝(3﹣2t)2+(t)2，

解得：t＝(t＝0不合題意，舍去)；

③若AP＝AM，

由題意可得：AP＝t，AM＝3﹣t

∴t＝3﹣t，

解得：t＝，

綜上所述，當(dāng)t＝1或t＝或t＝時(shí)，△MPA是等腰三角形．