Question

【題目】如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A（1，0），B（﹣3，0），與y軸交于C．

（1）求該拋物線的解析式，并寫出拋物線的對稱軸；

（2）設(shè)拋物線的對稱軸交x軸于D，在對稱軸左側(cè)的拋物線上有一點(diǎn)E，使S△ACE＝，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）若P是直線y＝x+1上的一點(diǎn)，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，M是第二象限拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)∠MPD＝∠ADC時(shí)，求M點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+2x﹣3．（2）E（﹣4，5）．（3）M（﹣4，5）

【解析】

（1）根據(jù)待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式即可；

（2）根據(jù)E點(diǎn)在拋物線上，設(shè)E（m，m2+2m﹣3），再結(jié)合已知條件，利用三角形的面積計(jì)算公式S=底高，從而解得m的值；

（3）首先過點(diǎn)D作DN⊥DP，交PM的延長線與點(diǎn)N，過點(diǎn)N作NL⊥x軸，過點(diǎn)P作PE⊥x軸，再利用已知條件證明△NPD∽△CDO，同時(shí)證明△NLD∽△DEP，因此得到N點(diǎn)坐標(biāo)，N點(diǎn)在一次函數(shù)上，可以得到一次函數(shù)的解析式，根據(jù)M點(diǎn)是一次函數(shù)和二次函數(shù)的交點(diǎn)，聯(lián)立方程組，解得M點(diǎn)的坐標(biāo)，已知M點(diǎn)在第二象限上刪去不符合條件的M點(diǎn)的坐標(biāo)。

解：（1）∵A（1，0），B（﹣3，0）關(guān)于直線x＝﹣1對稱，

∴拋物線的對稱軸為x＝﹣1．

拋物線的解析式為y＝（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3．

（2）設(shè)點(diǎn)E（m，m2+2m﹣3）．

∵AD＝2，OC＝3，

∴S△ACD＝×ADOC＝3．

∵S△ACE＝，

∴S△ACE＝10．

設(shè)直線AE的解析式為y＝kx﹣b．把點(diǎn)A和點(diǎn)E的坐標(biāo)代入得：，解得：．

∴直線AE的解析式為y＝（m+3）x﹣m﹣3．

∴F（0，﹣m﹣3）．

∵C（0，﹣3），

∴FC＝﹣m﹣3+3＝﹣m．

∴S△EAC＝×FC×（1﹣m）＝10，即﹣m（1﹣m）＝20，解得：m＝﹣4或m＝5（舍去）．

∴E（﹣4，5）．

（3）如圖所示：

過點(diǎn)D作DN⊥DP，交PM的延長線與點(diǎn)N，過點(diǎn)N作NL⊥x軸，垂足為L，過點(diǎn)P作PE⊥x軸，垂足為E．

∵∠MPD＝∠ADC，∠NDP＝∠DOC，

∴△NPD∽△CDO．

∴＝，

∴＝＝3．

又∵△NLD∽△DEP，

∴＝＝＝3，

∴NL＝7，DL＝7，

∴N（﹣8，7）．

∴直線PN的解析式為y＝﹣x﹣3．

聯(lián)立y＝x2+2x﹣3與y＝﹣x﹣3，解得：x＝（舍去）或x＝﹣4．

∴M（﹣4，5）．