Question

已知：如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，∠CBA的平分線交AC于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，且交AC于點(diǎn)P，連接AD． 
（1）AP=PD；
（2）請(qǐng)判斷A，D，F(xiàn)三點(diǎn)是否在以P為圓心，以PD為半徑的圓上？并說(shuō)明理由；
（3）連接CD，若CD﹦3，BD﹦4，求⊙O的半徑和DE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圓周角定理得出∠DAC=∠CBD，以及∠CBD=∠DBA可得出∠DAC=∠DBA，再由直角三角形的性質(zhì)即可得出答案；
（2）首先得出∠ADB=90°，再根據(jù)∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°，且∠ADB=90°得出∠PDF=∠PFD，從而得出PA=PF；
（3）利用圓心角、弧、弦的關(guān)系定理得出AD=CD，進(jìn)而利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)，以及利用直角三角形面積公式求出DE的長(zhǎng)即可．

解答：（1）證明：∵BD平分∠CBA，
∴∠CBD=∠DBA，
∵∠DAC與∠CBD都是弧CD所對(duì)的圓周角，
∴∠DAC=∠CBD，
∴∠DAC=∠DBA，
∵AB是⊙O的直徑，DE⊥AB，
∴∠ADB=∠AED=90°，
∴∠ADE+∠DAE=90°，∠DBA+∠DAE=90°，
∴∠ADE=∠DBA，
∴∠DAC=∠ADE，
∴PA=PD；

（2）解：A，D，F(xiàn)三點(diǎn)是在以P為圓心，以PD為半徑的圓上．理由如下：
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
∵DE⊥AB于E，
∴∠DEB=90°，
∴∠ADE+∠EDB=∠ABD+∠EDB=90°，
∴∠ADE=∠ABD=∠DAP，
∴PD=PA，
∵∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°，且∠ADB=90°，
∴∠PDF=∠PFD，
∴PD=PF，
∴PA=PF，即P是線段AF的中點(diǎn)，
故A，D，F(xiàn)三點(diǎn)是在以P為圓心，以PD為半徑的圓上；

（3）解：∵∠CBD=∠DBA，
∴CD=AD，
∵CD﹦3，∴AD=3，
∵∠ADB=90°，
∴AB=

AD2+BD2

=

32+42

=5，
故⊙O的半徑為2.5，
∵DE×AB=AD×BD，
∴5DE=3×4，
∴DE=2.4．
即DE的長(zhǎng)為2.4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是圓周角定理和等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理和三角形面積公式等知識(shí)，根據(jù)證明PD=PA以及PD=PF得出答案是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．