(2009•豐臺區(qū)一模)如圖1,矩形紙片ABCD中,AB=4,BC=4,將矩形紙片沿對角線AC向下翻折,點D落在點D′處,連接B D′,如圖2,求線段BD′的長.

【答案】分析:先設(shè)AD和BC交于點O,△AD′C和△ADC關(guān)于AC對稱,可得CD=CD′=AB,利用勾股定理,可求AC,那么sin∠ACB=,有∠ACB=30°,∠BAC=60°,就有∠BAO=∠D′AC=∠ACB=∠D′CB=30°,根據(jù)圖形可得△ABO≌△CD′O,可得,OB=OD′,所以∠OBD=∠OD′B,而∠AOC=∠BOD′,于是∠OBD′=∠OD′B=30°,就有∠AD′B=∠BAD′=30°,從而可得BD′=AB=4.
解答:解:設(shè)AD′交BC于O,
方法一:
過點B作BE⊥AD′于E,
矩形ABCD中,
∵AD∥BC,AD=BC,
∠B=∠D=∠BAD=90°,
在Rt△ABC中,
∵tan∠BAC=,
∴∠BAC=60°,∴∠DAC=90°-∠BAC=30°,(2分)
∵將△ACD沿對角線AC向下翻折,得到△ACD′,
∴AD′=AD=BC=,∠1=∠DAC=30°,
∴∠4=∠BAC-∠1=30°,
又在Rt△ABE中,∠AEB=90°,∴BE=2,(4分)
∴AE=,∴D′E=AD′-AE=,
∴AE=D′E,即BE垂直平分AD′,∴BD′=AB=4.(5分)

方法二:
矩形ABCD中,∵AD∥BC,AD=BC,∠B=∠D=90°,∴∠ACB=∠DAC,
在Rt△ABC中,∵tan∠BAC=,
∴∠BAC=60°,∴∠ACB=90°-∠BAC=30°,(2分)
∵將△ACD沿對角線AC向下翻折,得到△ACD′,
∴AD=AD′=BC,∠1=∠DAC=∠ACB=30°,
∴OA=OC,
∴OD′=OB,∴∠2=∠3,
∵∠BOA=∠1+∠ACB=60°,∠2+∠3=∠BOA,
∴∠2=∠BOA=30°,(4分)
∵∠4=∠BAC-∠1=30°,
∴∠2=∠4,
∴BD′=AB=4.(5分)
點評:本題利用了折疊的圖形全等,勾股定理,反三角函數(shù),全等三角形的判定和性質(zhì).
練習(xí)冊系列答案
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(1)求拋物線的解析式;
(2)過點A作AD∥CB交拋物線于點D,求四邊形ACBD的面積;
(3)如果P是線段AC上的一個動點(不與點A、C重合),過點P作平行于x軸的直線l交BC于點Q,那么在x軸上是否存在點R,使得△PQR為等腰直角三角形?若存在,求出點R的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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