Question

19．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，OD交BC于點(diǎn)H，且OH=DH，連接AD，過點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E，連接EH，若OH=$\frac{7\sqrt{3}}{6}$，EH=$\frac{3}{2}$，則AC=5．

Answer 1

分析 延長BE、AC交于點(diǎn)P，連接OB，過點(diǎn)C作CR⊥AB，在Rt△BOH中根據(jù)半徑及∠BOH求得BH、BC的長，證△ABE≌△APE得BE=PE、AB=AP，結(jié)合BH=CH可得CP=2HE=3，設(shè)AC=m，則AB=m+3，在Rt△ACR中表示出CR、AR的長，在Rt△BCR中根據(jù)勾股定理可求得m的值，即AC的長．

解答 解：如圖，延長BE、AC交于點(diǎn)P，連接OB，過點(diǎn)C作CR⊥AB于點(diǎn)R，
在Rt△BOH中，OB=OD+OH=$\frac{7\sqrt{3}}{3}$，
∴∠BOH=60°，
∴BH=OB•sin60°=$\frac{7}{2}$，
∵OH⊥BC，
∴BH=CH，
∴BC=2BH=7，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB=∠AEP=90°，
在△ABE和△APE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠PAE}\\{AE=AE}\\{∠AEB=∠AEP}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△APE（ASA），
∴BE=PE，AB=AP，
∵BH=CH，
∴HE是△BCP的中位線，
∴CP=2HE=3，
設(shè)AC=m，則AB=AP=m+3，
在Rt△ACR中，∠RAC=60°，
∴AR=$\frac{1}{2}$m，CR=$\frac{\sqrt{3}}{2}$m，
∴BR=AB-AR=m+3-$\frac{1}{2}$m=$\frac{1}{2}$m+3，
在Rt△BCR中，BR²+CR²=BC²，即（$\frac{1}{2}$m+3）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$m）²=7²，
解得：m=5或m=-8（舍），
∴AC=5．
故答案是：5．

點(diǎn)評 此題考查了三角形外接圓與圓心、圓周角定理、垂徑定理、全等三角形的判定等知識．該題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．