Question

10．正方形ABCD邊長(zhǎng)為4，M、N分別是BC、CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)M點(diǎn)在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，保持AM和MN垂直．
（1）證明：Rt△ABM∽R(shí)t△MCN；
（2）設(shè)BM=x，梯形ABCN的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)Rt△ABM∽R(shí)t△AMN，求x的值．

Answer 1

分析 （1）欲證明Rt△ABM∽R(shí)t△MCN，只要證明∠BAM=∠CMN即可．
（2）由△ABM∽△MCN，$\frac{AB}{MC}$=$\frac{BM}{CN}$，求出CN，根據(jù)梯形面積公式即可解決問題．
（3）由Rt△ABM∽R(shí)t△AMN，得$\frac{AB}{AM}$=$\frac{BM}{MN}$，由（1）知

AM

MN

=

AB

MC

，推出

AB

BM

=

AB

MC

，推出BM=MC，由此解決問題．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠BAM∠AMB=90°，
∵AM⊥MN，
∴∠AMN=90°，
∴∠AMB∠CMN=90°，
∴∠BAM=∠CMN，
∵∠B=∠C=90°，
∴Rt△ABM∽R(shí)t△MCN

（2）解：∵△ABM∽△MCN
∴$\frac{AB}{MC}$=$\frac{BM}{CN}$，
∴$\frac{4}{4-x}=\frac{x}{CN}$，
∴CN=$\frac{4x-{x}^{2}}{4}$
∴y=$\frac{1}{2}$（AB+CN）•BC
=-$\frac{1}{2}$x²+2x+8．（0＜x＜4）

（3）解：∵∠B=∠AMN=90°，
∴要使△ABM∽△AMN，必須有

AB

AM

=

BM

MN

，
由（1）知

AM

MN

=

AB

MC

，
∴

AB

BM

=

AB

MC

，
∴BM=MC，
∴當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到BC的中點(diǎn)時(shí)，△ABM∽△AMN，此時(shí)x=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)．梯形的面積公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定，學(xué)會(huì)用方程的思想思考問題，屬于中考常考題型．