Question

【題目】畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對”數(shù)”與”形”的巧妙結(jié)合作了如下研究：

名稱及圖形 幾何點(diǎn)數(shù) 層數(shù)	三角形數(shù)	正方形數(shù)	五邊形數(shù)	六邊形數(shù)
第一層幾何點(diǎn)數(shù)	1	1	1	1
第二層幾何點(diǎn)數(shù)	2	3	4	5
第三層幾何點(diǎn)數(shù)	3	5	7	9
…	…	…	…	…
第六層幾何點(diǎn)數(shù)
…	…	…	…	…
第n層幾何點(diǎn)數(shù)

請寫出第六層各個(gè)圖形的幾何點(diǎn)數(shù)，并歸納出第n層各個(gè)圖形的幾何點(diǎn)數(shù)．

Answer 1

【答案】6、11、16、21、n、2n﹣1、3n﹣2、4n﹣3．

【解析】

試題分析：首先看三角形數(shù)，根據(jù)前三層的幾何點(diǎn)數(shù)分別是1、2、3，可得第六層的幾何點(diǎn)數(shù)是6，第n層的幾何點(diǎn)數(shù)是n；然后看正方形數(shù)，根據(jù)前三層的幾何點(diǎn)數(shù)分別是1=2×1﹣1、3=2×2﹣1、5=2×3﹣1，可得第六層的幾何點(diǎn)數(shù)是2×6﹣1=11，第n層的幾何點(diǎn)數(shù)是2n﹣1；再看五邊形數(shù)，根據(jù)前三層的幾何點(diǎn)數(shù)分別是1=3×1﹣2、2=3×2﹣2、3=3×3﹣2，可得第六層的幾何點(diǎn)數(shù)是3×6﹣2=16，第n層的幾何點(diǎn)數(shù)是3n﹣2；最后看六邊形數(shù)，根據(jù)前三層的幾何點(diǎn)數(shù)分別是1=4×1﹣3、5=4×2﹣3、9=4×3﹣3，可得第六層的幾何點(diǎn)數(shù)是4×6﹣3=21，第n層的幾何點(diǎn)數(shù)是4n﹣3，據(jù)此解答即可．

解：∵前三層三角形的幾何點(diǎn)數(shù)分別是1、2、3，

∴第六層的幾何點(diǎn)數(shù)是6，第n層的幾何點(diǎn)數(shù)是n；

∵前三層正方形的幾何點(diǎn)數(shù)分別是：1=2×1﹣1、3=2×2﹣1、5=2×3﹣1，

∴第六層的幾何點(diǎn)數(shù)是：2×6﹣1=11，第n層的幾何點(diǎn)數(shù)是2n﹣1；

∵前三層五邊形的幾何點(diǎn)數(shù)分別是：1=3×1﹣2、2=3×2﹣2、3=3×3﹣2，

∴第六層的幾何點(diǎn)數(shù)是：3×6﹣2=16，第n層的幾何點(diǎn)數(shù)是3n﹣2；

前三層六邊形的幾何點(diǎn)數(shù)分別是：1=4×1﹣3、5=4×2﹣3、9=4×3﹣3，

∴第六層的幾何點(diǎn)數(shù)是：4×6﹣3=21，第n層的幾何點(diǎn)數(shù)是4n﹣3．

名稱及圖形 幾何點(diǎn)數(shù) 層數(shù)	三角形數(shù)	正方形數(shù)	五邊形數(shù)	六邊形數(shù)
第一層幾何點(diǎn)數(shù)	1	1	1	1
第二層幾何點(diǎn)數(shù)	2	3	4	5
第三層幾何點(diǎn)數(shù)	3	5	7	9
…	…	…	…	…
第六層幾何點(diǎn)數(shù)	6	11	16	21
…	…	…	…	…
第n層幾何點(diǎn)數(shù)	n	2n﹣1	3n﹣2	4n﹣3

故答案為：6、11、16、21、n、2n﹣1、3n﹣2、4n﹣3．