【題目】已知△ABC是等邊三角形,點P是平面內(nèi)一點,且四邊形PBCD為平行四邊形,將線段CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°,得到線段CF
(1)如圖1,當(dāng)P為AC的中點時,求證:FC⊥PD.
(2)如圖2,當(dāng)P為△ABC內(nèi)任一點時,連接PA、PF、AF,試判斷△PAF的形狀,并證明你的結(jié)論.
(3)當(dāng)B、P、F三點共線且AB=,PB=3時,求PA的長.
【答案】(1)見解析;(2)△PAF是等邊三角形,證明見解析;(3)PA的長為2或5.
【解析】
(1)如圖1,利用等邊三角形和平行四邊形的性質(zhì)求得∠FCD+∠D=90°即得結(jié)論;
(2)△PAF是等邊三角形.如圖2,延長BC,先利用等邊三角形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)證得∠2=∠4,再根據(jù)SAS證明△ABP≌△ACF,進(jìn)一步根據(jù)等邊三角形的判定定理即可證得結(jié)論;
(3)需要分類討論:當(dāng)點P在線段BF上和當(dāng)點P落在線段FB的延長線上兩種情況,通過作輔助線,構(gòu)造直角三角形,再結(jié)合勾股定理即可求出結(jié)果.
(1)證明:如圖1,設(shè)FC、PD交于點M,
∵△ABC是等邊三角形,P為AC的中點,
∴∠PBC=∠ABC=×60°=30°,
∵四邊形PBCD為平行四邊形,
∴∠D=∠PBC=30°.
∵∠FCD=60°,
∴∠FCD+∠D=90°,
∴∠CMD=90°,
∴FC⊥PD;
(2)△PAF是等邊三角形,理由如下:
如圖2,延長BC,∵△ABC為等邊三角形,
∴AB=AC,∠ABC=∠ACB=60°,
∴∠2=60°﹣∠1,∠4=180°﹣60°﹣60°﹣∠3=60°﹣∠3.
∵四邊形PBCD是平行四邊形,
∴PB∥CD,PB=CD=FC.
∴∠1=∠3,∴∠2=∠4.
又AB=AC,PB=FC,
∴△ABP≌△ACF(SAS).
∴AP=AF,∠BAP=∠CAF.
∵∠BAP+∠PAC=60°,
∴∠PAC+∠CAF=∠PAF=60°,
∴△PAF是等邊三角形;
(3)①當(dāng)點P在線段BF上時,如圖3,過A作AE⊥BF于E,由(2)可得∠APF=60°,
設(shè)PE=x,則AE=x,
于是在Rt△ABE中,根據(jù)勾股定理得:,
解得:x1=1,x2=(不合題意,舍去)
∴PA=2x=2;
②當(dāng)點P落在線段FB的延長線上時,如圖4,過B作BE⊥PA于E,
則在Rt△PBE中,PB=3,由(2)可得∠BPE=60°,∴∠PBE=30°.
∴PE=,BE=.
在Rt△ABE中,AB=,BE=,∴AE=,
∴PA=PE+AE=5.
由于P點不可能在線段BF的延長線上,所以, PA的長為2或5.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法正確的是( 。
A. 了解我市市民知曉“禮讓行人”交通新規(guī)的情況,適合全面調(diào)查
B. 甲、乙兩人跳遠(yuǎn)成績的方差分別為,,說明乙的跳遠(yuǎn)成績比甲穩(wěn)定
C. 一組數(shù)據(jù)2,2,3,4的眾數(shù)是2,中位數(shù)是2.5
D. 可能性是1%的事件在一次試驗中一定不會發(fā)生
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在一個不透明的口袋里裝有四個分別標(biāo)有1、2、3、4的小球,它們的形狀、大小等完全相同.小明先從口袋里隨機(jī)不放回地取出一個小球,記下數(shù)字為x;小紅在剩下有三個小球中隨機(jī)取出一個小球,記下數(shù)字y.
(1)計算由x、y確定的點(x,y)在函數(shù)y=﹣x+6圖象上的概率;
(2)小明、小紅約定做一個游戲,其規(guī)則是:若x、y滿足xy>6,則小明勝;若x、y滿足xy<6,則小紅勝.這個游戲規(guī)則公平嗎?說明理由;若不公平,怎樣修改游戲規(guī)則才對雙方公平?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】圖(1)所示矩形ABCD中,BC=x,CD=y,y與x滿足的反比例函數(shù)關(guān)系如圖(2)所示,等腰直角三角形AEF的斜邊EF過C點,M為EF的中點,則下列結(jié)論正確的是( 。
A.當(dāng)x=3時,EC<EM
B.當(dāng)y=9時,EC>EM
C.當(dāng)x增大時,ECCF的值增大
D.當(dāng)x變化時,四邊形BCDA的面積不變
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,平行四邊形ACDE的一邊在直徑AB上,點E在⊙O上.
(1)如圖1,當(dāng)點D在⊙O上時,請你僅用無刻度的直尺在AB上取點P,使DP⊥AB于P;
(2)如圖2,當(dāng)點D在⊙O內(nèi)時,請你僅用無刻度的直尺在AB上取點Q,使EQ⊥AB于Q.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】 某學(xué)校為了了解九年級學(xué)生的體能情況,抽取了部分學(xué)生進(jìn)行了體能測試,學(xué)生的測試成績分四類:A:優(yōu)秀;B:良好;C:合格;D不合格,將抽測學(xué)生的成績繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請根據(jù)統(tǒng)計圖解答下列問題:
(1)求本次調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù);
(2)成績?yōu)?/span>C的女生有______人,成績?yōu)?/span>D的男生有______人;
(3)扇形統(tǒng)計圖中成績?yōu)?/span>D的學(xué)生所對應(yīng)的扇形的圓心角度數(shù)為______;
(4)補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,邊長為1的正三角形ABC放置在邊長為2的正方形內(nèi)部,頂點A在正方形的一個頂點上,邊AB在正方形的一邊上,將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn),當(dāng)點C落在正方形的邊上時,完成第1次無滑動滾動(如圖1);再將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn),當(dāng)點A落在正方形的邊上時,完成第2次無滑動滾動(如圖2),…,每次旋轉(zhuǎn)的角度都不大于120°,依次這樣操作下去,當(dāng)完成第2016次無滑動滾動時,點A經(jīng)過的路徑總長為 ______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“滑塊鉸鏈”是一種用于連接窗扇和窗框,使窗戶能夠開啟和關(guān)閉的連桿式活動鏈接裝置(如圖1).圖2是“滑塊鉸鏈”的平面示意圖,滑軌MN安裝在窗框上,懸臂DE安裝在窗扇上,支點B、C、D始終在一條直線上,已知托臂AC=20厘米,托臂BD=40厘米,支點C,D之間的距離是10厘米,張角∠CAB=60°.
(1)求支點D到滑軌MN的距離(精確到1厘米);
(2)將滑塊A向左側(cè)移動到A′,(在移動過程中,托臂長度不變,即AC=A′C′,BC=BC′)當(dāng)張角∠C′A'B=45°時,求滑塊A向左側(cè)移動的距離(精確到1厘米).(備用數(shù)據(jù):≈1.41,≈1.73,≈2.45,≈2.65)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖①,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與坐標(biāo)軸交于A,B,C三點,其中點A的坐標(biāo)為(﹣3,0),點B的坐標(biāo)為(4,0),連接AC,BC.動點P從點A出發(fā),在線段AC上以每秒1個單位長度的速度向點C作勻速運(yùn)動;同時,動點Q從點O出發(fā),在線段OB上以每秒1個單位長度的速度向點B作勻速運(yùn)動,當(dāng)其中一點到達(dá)終點時,另一點隨之停止運(yùn)動,設(shè)運(yùn)動時間為t秒.連接PQ.
(1)填空:b= ,c= ;
(2)在點P,Q運(yùn)動過程中,△APQ可能是直角三角形嗎?請說明理由;
(3)點M在拋物線上,且△AOM的面積與△AOC的面積相等,求出點M的坐標(biāo)。
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