Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為原點(diǎn)，平行于x軸的直線與拋物線L：y=ax2相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在第一象限），點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上．

（1）已知a=1，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為2．

①如圖1，向右平移拋物線L使該拋物線過(guò)點(diǎn)B，與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)C，求AC的長(zhǎng)．

②如圖2，若BD=AB，過(guò)點(diǎn)B，D的拋物線L2，其頂點(diǎn)M在x軸上，求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式．

（2）如圖3，若BD=AB，過(guò)O，B，D三點(diǎn)的拋物線L3，頂點(diǎn)為P，對(duì)應(yīng)函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)為a3，過(guò)點(diǎn)P作PE∥x軸，交拋物線L于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求的值，并直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）①；②y=4（x﹣）2；（2）；

【解析】試題分析：（1）①根據(jù)函數(shù)解析式求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，求出AC的長(zhǎng)；
②作拋物線L2的對(duì)稱軸與AD相交于點(diǎn)N，根據(jù)拋物線的軸對(duì)稱性求出OM，利用待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）過(guò)點(diǎn)B作BK⊥x軸于點(diǎn)K，設(shè)OK=t，得到OG=4t，利用待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)拋物線過(guò)點(diǎn)B（t，at2），求出的值，根據(jù)拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出的值．

試題解析：（1）①二次函數(shù)y=x2，當(dāng)y=2時(shí)，2=x2，
解得x1=，x2=-，
∴AB=2．
∵平移得到的拋物線L1經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，
∴BC=AB=2，
∴AC=4．
②作拋物線L2的對(duì)稱軸與AD相交于點(diǎn)N，如圖2，

根據(jù)拋物線的軸對(duì)稱性，得BN=DB=，
∴OM=．
設(shè)拋物線L2的函數(shù)表達(dá)式為y=a（x-）2，
由①得，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（，2），
∴2=a（-）2，
解得a=4．
拋物線L2的函數(shù)表達(dá)式為y=4（x-）2；
（2）如圖3，拋物線L3與x軸交于點(diǎn)G，其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)Q，
過(guò)點(diǎn)B作BK⊥x軸于點(diǎn)K，

設(shè)OK=t，則AB=BD=2t，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（t，at2），
根據(jù)拋物線的軸對(duì)稱性，得OQ=2t，OG=2OQ=4t．
設(shè)拋物線L3的函數(shù)表達(dá)式為y=a3x（x-4t），
∵該拋物線過(guò)點(diǎn)B（t，at2），
∴at2=a3t（t-4t），
∵t≠0，
∴，
由題意得，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2t，-4a3t2），
則-4a3t2=ax2，
解得，x1=-t，x2=t，
EF=t，
∴．