Question

4．我們將拋物線少y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸的一個交點(diǎn)、與y軸的交點(diǎn)及原點(diǎn)三點(diǎn)構(gòu)成的三角形，稱為這條拋物線的“原發(fā)三角形”

（1）拋物線y=x²-2x+1的“原發(fā)三角形”的面積為$\frac{1}{2}$；
（2）當(dāng)c=-1時，拋物線y=（x-1）（x-c）（其中c≠0和1）的兩個“原發(fā)二角形”全等？
請在圖1平面直角坐標(biāo)系中畫出該拋物線的圖象，并說明理由；（鉛筆畫圖后請用黑色水筆加濃）
（3）請直接寫出拋物線y=x²+4x+c的“原發(fā)三角形”的個數(shù)及相應(yīng)的c的取值范圍（或值）．
（4）如圖2，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，2），點(diǎn)A是射線BO上的動點(diǎn)（不與點(diǎn)B，O重合）．△AOC和△BOC是拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的兩個“原發(fā)三角形”．當(dāng)原點(diǎn)到△ABC的外接圓圓心的距離最小時，求出此時拋物線的解析式．

Answer 1

分析 （1）由拋物線解析式求出與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，然后求出面積；
（2）由拋物線解析式表示出與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，用全等三角形，得到的結(jié)論建立方程求出；
（3）根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)個數(shù)來判斷拋物線的原發(fā)三角形的個數(shù)；
（4）根據(jù)三角形的外接圓的圓心在三邊的垂直平分線，再利用相似即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=x²-2x+1，
∴拋物線與x軸的交點(diǎn)為B（1，0），與y軸的交點(diǎn)為C（0，1），
∴S=$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$，
故答案為$\frac{1}{2}$
（2）∵y=（x-1）（x-c），
∴A（1，0），B（c，0），
∵拋物線y=（x-1）（x-c）（其中c≠0和1）的兩個“原發(fā)二角形”全等，
∴①△AOC≌△BOC，
∴AO=BO，
∴|c|=1，
∴c=1（舍）或c=-1，
②△AOC≌△COB，
∴AO=CO，
∴∴|c|=1，
∴c=1（舍）或c=-1，
故答案為c=-1
（3）拋物線y=x²+4x+c的“原發(fā)三角形”，
∴△=16-4c，
①當(dāng)△＜0時，即：16-4c＜0，
∴t＞4時，沒有原發(fā)三角形，
②當(dāng)△=0時，即：c=4時，只有一個原發(fā)三角形，
③當(dāng)△＞0，即：c＜4且c≠0時，有兩個原發(fā)三角形．
（4）∵點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，2）
∴BC解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2，
∴△ABC的外接圓圓心M，
∴M在BC垂直平分線l上，
∴l(xiāng)的解析式為y=2x-3，
∵△ODM∽△CDF，
∴$\frac{OM}{CE}=\frac{OD}{CD}$，
∴$\frac{OM}{\sqrt{5}}$=$\frac{3}{5}$，
∴OM=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
根據(jù)勾股定理得，DM=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
∴MF=$\frac{6}{5}$，OF=$\frac{3}{5}$，
∴M（$\frac{6}{5}$，$\frac{3}{5}$），
∵M(jìn)也是AB的垂直平分線，
∴A（-$\frac{8}{5}$，0），
∵點(diǎn)A，B（4，0），C（0，2）在拋物線上，
∴y=a（x+$\frac{8}{5}$）（x-4），
∴a=-$\frac{5}{16}$，
∴y=-$\frac{5}{16}$x²+$\frac{3}{4}$x+2．

點(diǎn)評 此題是二次函數(shù)這題，主要考查了拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的確定方法，全等三角形的性質(zhì)，判別式的應(yīng)用，函數(shù)解析式的確定，解本題的關(guān)鍵是理解原發(fā)三角形．