Question

如圖所示，有四個動點P，Q，E，F(xiàn)分別從正方形ABCD的四個頂點出發(fā)，沿著AB，BC，CD，DA以同樣速度向B，C，D，A各點移動．
（1）試判斷四邊形PQEF是否是正方形，并證明；
（2）PE是否總過某一定點，并說明理由．

Answer 1

解：（1）在正方形ABCD中，AP=BQ=CE=DF，AB=BC=CD=DA，
∴BP=QC=ED=FA．
又∵∠BAD=∠B=∠BCD=∠D=90°，
∴△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF．
∴FP=PQ=QE=EF，∠APF=∠PQB．
∴四邊形PQEF是菱形，
∵∠FPQ=90°，
∴四邊形PQEF為正方形．

（2）連接AC交PE于O，

∵AP平行且等于EC，
∴四邊形APCE為平行四邊形．
∵O為對角線AC的中點，
∴對角線PE總過AC的中點．
分析：（1）正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形，故可根據(jù)正方形的定義證明四邊形PQEF是否使正方形．
（2）證PE是否過定點時，可連接AC，證明四邊形APCE為平行四邊形，即可證明PE過定點．
點評：在證明過程中，應了解正方形和平行四邊形的判定定理，為使問題簡單化，在證明過程中，可適當加入輔助線．