Question

如圖的⊙O中，AB為直徑，OC⊥AB，弦CD與OB交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)D、A分別作⊙O的切線交于點(diǎn)G，并與AB延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．
（1）求證：∠1=∠2．
（2）已知：OF：OB=1：3，⊙O的半徑為3，求AG的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）連接OD，根據(jù)切線的性質(zhì)得OD⊥DE，則∠2+∠ODC=90°，而∠C=∠ODC，則∠2+∠C=90°，由OC⊥OB得∠C+∠3=90°，所以∠2=∠3，而∠1=∠3，所以∠1=∠2；
（2）由OF：OB=1：3，⊙O的半徑為3得到OF=1，由（1）中∠1=∠2得EF=ED，在Rt△ODE中，DE=x，則EF=x，OE=1+x，根據(jù)勾股定理得3²+x²=（x+1）²，解得x=4，則DE=4，OE=5，根據(jù)切線的性質(zhì)由AG為⊙O的切線得∠GAE=90°，再證明Rt△EOD∽R(shí)t△EGA，利用相似比可計(jì)算出AG．

解答：（1）證明：連接OD，如圖，∵DE為⊙O的切線，
∴OD⊥DE，
∴∠ODE=90°，即∠2+∠ODC=90°，
∵OC=OD，
∴∠C=∠ODC，
∴∠2+∠C=90°，
而OC⊥OB，
∴∠C+∠3=90°，
∴∠2=∠3，
∵∠1=∠3，
∴∠1=∠2；

（2）解：∵OF：OB=1：3，⊙O的半徑為3，
∴OF=1，
∵∠1=∠2，
∴EF=ED，
在Rt△ODE中，OD=3，DE=x，則EF=x，OE=1+x，
∵OD²+DE²=OE²，
∴3²+x²=（x+1）²，解得x=4，
∴DE=4，OE=5，
∵AG為⊙O的切線，
∴AG⊥AE，
∴∠GAE=90°，
而∠OED=∠GEA，
∴Rt△EOD∽R(shí)t△EGA，
∴

OD

AG

=

DE

AE

，即

3

AG

=

4

3+5

，
∴AG=6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．也考查了勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)．