Question

如圖，兩個同樣大小的等邊△ABC和△ACD，邊長為a，它們拼成一個菱形ABCD，另一個足夠大的等邊△AEF繞點A旋轉(zhuǎn)，AE與BC相交于點M，AF與CD相交于點N．
（1）證明：∠DAN=∠CAM；
（2）求四邊形AMCN的面積；
（3）探索△AMN何時面積最小，并寫出這個最小面積的值．

Answer 1

分析：（1）由△ABC和△ACD，△AEF都是等邊三角形，得到∠DAC=∠FAE=60°，得到∠DAN=∠CAM；
（2）由（1）和等邊三角形的性質(zhì)得到∠DAN=∠CAM，AD=AC，∠D=∠ACB=60°，則△ADN≌△ACM，于是有S_{四邊形AMCN的面積}=S_△ABC=

3

4

a²；
（3）由（2）得AN=AM，再根據(jù)三角形的面積公式得S_△AMN=

1

2

AM•AN•sin∠NAM=

1

2

AM²•sin60°=

3

4

×AM²，當AM最小時，S_△AMN最小，即AM為BC邊上的高，而AM=

3

2

a，即可得到△AMN面積最小值．

解答：（1）證明：∵△ABC和△ACD，△AEF都是等邊三角形，
∴∠DAC=∠FAE=60°，
∴∠DAN=∠CAM；

解：（2）∵∠DAN=∠CAM，AD=AC，∠D=∠ACB=60°，
∴△ADN≌△ACM，
∴S_{四邊形AMCN的面積}=S_△ABC=

3

4

a²；

（3）∵△ADN≌△ACM，
∴AN=AM，
∴S_△AMN=

1

2

AM•AN•sin∠NAM=

1

2

AM²•sin60°=

3

4

×AM²，
當AM最小時，S_△AMN最小，即AM為BC邊上的高，
∴AM=

3

2

a，
∴△AMN面積最小值=

3

4

×

3

4

×a²=

3 3

16

a²．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段所夾的角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了三角形全等的判定與性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)以及它的面積公式．