Question

【題目】已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，一個(gè)以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的45°角繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別與邊BC、DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E、F，連接EF。設(shè)CE=a，CF=b。

（1）如圖1，當(dāng)∠EAF被對(duì)角線AC平分時(shí)，求a、b的值；

（2）當(dāng)△AEF是直角三角形時(shí)，求a、b的值；

（3）如圖3，探索∠EAF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中a、b滿足的關(guān)系式，并說(shuō)明理由。

Answer 1

【答案】（1）a=b＝；（2）①當(dāng)∠AEF=90°時(shí)，a=4，b=8，②當(dāng)∠AFE=90°時(shí)，a=8，b=4;（3）ab=32，理由見解析.

【解析】分析：（1）當(dāng)∠EAF被對(duì)角線AC平分時(shí)，易證△ACF≌△ACE，因此CF=CE，即a=b．（2）分兩種情況進(jìn)行計(jì)算，①先用勾股定理得出CF2=8（CE+4）①，再用相似三角形得出4CF=CE（CE+4）②，兩式聯(lián)立解方程組即可；（3）先判斷出∠AFD=∠CEF，再判斷出AF=EF，從而得到△ADF≌△FCE即可．

本題解析：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ACF=∠DCD=90°，

∵AC是正方形ABCD的對(duì)角線，∴∠ACB=∠ACD=45°，∴∠ACF=∠ACE，

∵∠EAF被對(duì)角線AC平分，∴∠CAF=∠CAE，

在△ACF和△ACE中，

，

∴△ACF≌△ACE，∴CE=CE，

∵CE=a，CF=b，∴a=b；

（2）當(dāng)△AEF是直角三角形時(shí)，

①當(dāng)∠AEF=90°時(shí)，△ABEF≌△ECF，∴a=4，b=8，

②當(dāng)∠AFE=90°時(shí)，△ADF≌△FCE，∴a=8，b=4．

（3）ab=32，

理由：如圖，

∵∠BAG+∠AGB=90°，∠AFC+∠CGF=90°，∠AGB=∠CGF，

∴∠BAG=∠AFC，

∵∠BAC=45°，

∴∠BAG+∠CAF=45°，

∴∠AFC+∠CAF=45°，

∵∠AFC+∠AEC=180°﹣（∠CFE+∠CEF）﹣∠EAF=180°﹣90°﹣45°=45°，

∴∠CAF=∠AEC，

∵∠ACF=∠ACE=135°，

∴△ACF∽△ECA，

∴，

∴EC×CF=AC2=2AB2=32

∴ab=32．