Question

7．如圖所示，△ABC為等邊三角形，QR⊥AB于R，PQ⊥AC于Q，PR⊥BC于P，且AR=BP=CQ，求證：△RPQ為等邊三角形．

Answer 1

分析 根據等邊三角形的性質得出∠A=∠B=∠C=60°，根據QR⊥AB于R，PQ⊥AC于Q，PR⊥BC于P，得出∠ARQ=∠BPR=∠CQP=90°，然后根據AAS證得△ARQ≌△BPR≌△CQP，根據全等三角形的性質得出QR=RP=PQ，即可證得結論．

解答 證明：∵△ABC為等邊三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∵QR⊥AB于R，PQ⊥AC于Q，PR⊥BC于P，
∴∠ARQ=∠BPR=∠CQP=90°，
在△ARQ、△BPR和△CQP中
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠B=∠C}\\{∠ARQ=∠BPR=∠CQP}\\{AR=BP=CQ}\end{array}\right.$
∴△ARQ≌△BPR≌△CQP（AAS），
∴QR=RP=PQ，
∴△RPQ為等邊三角形．

點評 本題考查了等邊三角形的性質，三角形全等的判定和性質，熟練掌握性質定理是解題的關鍵．