Question

已知α、β是方程x²-2x-1=0的兩個實數根，求3α²-β²-8α+1的值（用兩種方法解答）

Answer 1

考點：根與系數的關系,一元二次方程的解

專題：計算題

分析：解法一：根據一元二次方程的解的定義和根與系數的關系得到α²-2α-1=0，β²-2β-1=0，α+β=2，α²=2α+1，β²=2β+1，然后把原式降次后利用整體代入的方法計算；
解法二：先根據根與系數的關系得到β=2-α，消去β，則3α²-β²-8α+1=2（α²-2α）-3，然后根據一元二次方程的解的定義求解．

解答：解：解法（一）∵α、β是方程x²-2x-1=0的兩個實數根，
∴α²-2α-1=0，β²-2β-1=0，α+β=2，
∴α²=2α+1，β²=2β+1，
∴3α²-β²-8α+1=3（2α+1）-（2β+1）-8α+1
=-2（α+β）+3
=-2×2+3
=-1；
解法（二）根據題意得α+β=2，即β=2-α，
所以3α²-β²-8α+1=3α²-（2-α）²-8α+1
=2（α²-2α）-3，
而α是方程x²-2x-1=0的實數根，
則α²-2α-1=0，即α²-2α=1，
所以3α²-β²-8α+1=2×1-3=-1．

點評：本題考查了根與系數的關系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．也考查了一元二次方程的解．