如圖,直線y=-
3
4
x+6分別與x軸、y軸交于A、B兩點;直線y=
5
4
x與AB交于點C,與過點A且平行于y軸的直線交于點D.點E從點A出發(fā),以每秒1個單位的速度沿x軸向左運動.過點E作x軸的垂線,分別交直線AB、OD于P、Q兩點,以PQ為邊向右作正方形PQMN,設(shè)正方形PQMN與△ACD重疊部分(陰影部分)的面積為S(平方單位),點E的運動時間為t(秒).
(1)求點C的坐標;
(2)當0<t<5時,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式,并求S的最大值;
(3)當t>0時,直接寫出點(4,
9
2
)在正方形PQMN內(nèi)部時t的取值范圍.
考點:一次函數(shù)綜合題
專題:
分析:(1)簡單求兩直線的交點,建立二元一次方程組,得點C的坐標;
(2)根據(jù)幾何關(guān)系把s用t表示,注意當MN在AD上時,這一特殊情況,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題;
(3)求定點在正方形PQMN內(nèi)部時,t的范圍,點E在x軸上運動,要用到分類討論.
解答:解:(1)解方程
y=-
3
4
x+6
y=
5
4
x

解得:
x=3
y=
15
4

所以點C的坐標(3,
15
4
);

(2)直線y=-
3
4
x+6與x軸交于A點,
令0=-
3
4
x+6,
解得x=8,
∴A點的坐標為(8,0),
∵AE=t,
∴OE=8-t,
∴在直線y=-
3
4
x+6上,
當x=8-t時,y=-
3
4
(8-t)+6,
所以P(8-t,
3
4
t),Q(8-t,10-
5
4
t)在直線y=
5
4
x上,
當x=8-t時,
PQ=10-
5
4
t-
3
4
t=10-2t,
所以當0<t<5時,S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為S=(10-2t)t,
即S=-2t2+10t;
二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的頂點坐標
當t=-t=-
b
2a
=
5
2
時,S=
4ac-b2
4a
=
25
2

所以S的最大值是S=
25
2
;

(3)當t=5時,PQ=0,P,Q,C三點重合;
當t<5時,知OE=4時是臨界條件,即8-t=4
即t=4
∴點Q的縱坐標為5>
9
2
,
點(4,
9
2
)在正方形邊界PQ上,E繼續(xù)往左移動,則點(4,
9
2
)進入正方形內(nèi)部,但點Q的縱坐標再減少,當Q點的縱坐標為
9
2
時,OE=
18
5

∴8-t=
18
5
即t=
22
5
,
此時OE+PN=
18
5
+(10-2t)=
24
5
>4滿足條件,
∴4<t<
22
5
,
當t>5時,由圖和條件知,則有E(t-8,0),PQ=2t-10要滿足點(4,
9
2
)在正方形的內(nèi)部,
則臨界條件N點橫坐標為4?4=PQ+OE=|2t-10|+|t-8|=3t-18
即t=6,此時Q點的縱坐標為:-
3
4
×2+6=
9
2
.滿足條件,
∴t>6.
綜上所述:4<t<
22
5
或t>6.
點評:此題考查函數(shù)基本性質(zhì),求函數(shù)最值問題,第三問考查動點問題,求t的范圍,觀察圖形,搞清幾何坐標,理清思路,又運用分類討論思想.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

下列各點中,在第一象限的點是( 。
A、(4,3)
B、(2,-3)
C、(-2,3)
D、(-2,-3)

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某射擊運動員在一次比賽中前8次射擊共中72環(huán),如果他要打破89環(huán)(10次射擊)的記錄,第九次射擊不能少于多少環(huán)?

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,已知拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點A(-1,0)、C,與y軸交于點B(0,3),拋物線的頂點為P.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若拋物線向下平移k個單位后經(jīng)過點(-5,6).
①求k的值及平移后拋物線所對應(yīng)函數(shù)的最小值;
②設(shè)平移后拋物線與y軸交于點D,頂點為Q,點M是平移后的拋物線上的一個動點,請?zhí)骄浚寒旤cM在何處時,△MBD的面積是△MPQ面積的2倍?求出此時點M的坐標.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖(1),在直角坐標系xOy中,拋物線與x軸交于A、B兩點,交y軸于點C,過A點的直線與拋物線的另一交點為D(m,3),與y軸相交于點E,點A的坐標為(-1,0),∠BAD=45°,點P是拋物線上的一點,且點P在第一象限.
(1)求直線AD和拋物線的解析式;
(2)若S△PBC:S△BOC=2:3,求點P的坐標;
(3)如圖(2),若M為拋物線的頂點,點Q為y軸上一點,求使QM+QB最小時,點Q的坐標,并求QM+QB的最小值.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

已知彈簧在其彈性限度內(nèi),它的長度y(厘米)與所掛重物質(zhì)量x(千克)的關(guān)系可表示為y=kx+b的形式,其中k稱為彈力系數(shù),測得彈簧A的長度與所掛重物(不超過彈性限度)的關(guān)系如圖1.
(1)求彈簧A的彈力系數(shù);
(2)假設(shè)在其它條件不變的情況下,彈簧的彈力系數(shù)k與彈簧的直徑d(如圖2)成正比例.已知彈簧B的直徑是彈簧A的1.5倍,且其它條件均與彈簧A相同(包括不掛重物時的長度).當彈簧B掛一重物后,測得此時彈簧長度為9厘米,求該重物的質(zhì)量.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,在平面直角坐標系中,拋物線C1:y=-x2+2x+3的頂點為A,與x軸交B、C于兩點.
(1)求A、B、C三點的坐標.
(2)在坐標平面內(nèi)存在點D,使以點A、B、C、D頂點為四邊形是平行四邊形,求過A、C、D的拋物線C2的表達式.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,扇形OAB的圓心角為2α,點P為弧AB上一點,將此扇形翻折,當點O和點P重合時折痕恰巧過點B,且
AB
PB
=
6
5
,則α的正切值為
 

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

為了解某學校八年級學生的身體發(fā)育情況,學校對八年級女生的身高進行了一次測量,所得數(shù)據(jù)整理后繪制出統(tǒng)計圖(如圖)
(1)表中m和n表示的數(shù)分別是多少?
(2)將統(tǒng)計圖補充完整.
組別 人數(shù) 百分比
 145.5~149.5 1 2%
 149.5~153.5 4 8%
153.5~157.5 m 40%
157.5~161.5 15 30%
161.5~165.5 8 n
165.5~169.5 2 4%
合計 50 100%

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