Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=45°，D是BC邊上的一點(diǎn)，BD=2，將△ACD沿直線AD翻折，點(diǎn)C剛好落在AB邊上的點(diǎn)E處.若P是直線AD上的動(dòng)點(diǎn)，則△PEB的周長(zhǎng)的最小值是________．

Answer 1

【答案】

【解析】

連接CE，交AD于M，根據(jù)折疊和等腰三角形性質(zhì)得出當(dāng)P和D重合時(shí)，PE+BP的值最小，此時(shí)△BPE的周長(zhǎng)最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE，先求出BC和BE長(zhǎng)，代入求出即可．

如圖，

連接CE，交AD于M，

∵沿AD折疊C和E重合，

∴∠ACD=∠AED=90°，AC=AE，∠CAD=∠EAD，

∴AD垂直平分CE，即C和E關(guān)于AD對(duì)稱，BD=2，

∴CD=DE=，

∴當(dāng)P和D重合時(shí)，PE+BP的值最小，即此時(shí)△BPE的周長(zhǎng)最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE，

∵∠DEA=90°，

∴∠DEB=90°，

∵∠ABC=45°，

∴∠B=45°，

∵DE=，

∴BE=，

即BC=2+，

∴△PEB的周長(zhǎng)的最小值是BC+BE=2++=2+2．

故答案為：2+2．