【題目】如圖,拋物線y=ax2+2x﹣3與x軸交于A、B兩點,且B(1,0)
(1)求拋物線的解析式和點A的坐標;
(2)如圖1,點P是直線y=x上的動點,當直線y=x平分∠APB時,求點P的坐標;
(3)如圖2,已知直線y= x﹣ 分別與x軸、y軸交于C、F兩點,點Q是直線CF下方的拋物線上的一個動點,過點Q作y軸的平行線,交直線CF于點D,點E在線段CD的延長線上,連接QE.問:以QD為腰的等腰△QDE的面積是否存在最大值?若存在,請求出這個最大值;若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)

解:把B(1,0)代入y=ax2+2x﹣3,

可得a+2﹣3=0,解得a=1,

∴拋物線解析式為y=x2+2x﹣3,

令y=0,可得x2+2x﹣3=0,解得x=1或x=﹣3,

∴A點坐標為(﹣3,0).


(2)

解:若y=x平分∠APB,則∠APO=∠BPO,

如圖1,若P點在x軸上方,PA與y軸交于點B′,

由于點P在直線y=x上,可知∠POB=∠POB′=45°,

在△BPO和△B′PO中

,

∴△BPO≌△B′PO(ASA),

∴BO=B′O=1,

設直線AP解析式為y=kx+b,把A、B′兩點坐標代入可得

,解得 ,

∴直線AP解析式為y= x+1,

聯(lián)立 ,解得 ,

∴P點坐標為( , );

若P點在x軸下方時,同理可得△BOP≌△B′OP,

∴∠BPO=∠B′PO,

又∠B′PO在∠APO的內(nèi)部,

∴∠APO≠∠BPO,即此時沒有滿足條件的P點,

綜上可知P點坐標為( , ).


(3)

解:如圖2,作QH⊥CF,交CF于點H,

∵CF為y= x﹣ ,

∴可求得C( ,0),F(xiàn)(0,﹣ ),

∴tan∠OFC= = ,

∵DQ∥y軸,

∴∠QDH=∠MFD=∠OFC,

∴tan∠HDQ=

不妨設DQ=t,DH= t,HQ= t,

∵△QDE是以DQ為腰的等腰三角形,

∴若DQ=DE,則SDEQ= DEHQ= × t×t= t2,

若DQ=QE,則SDEQ= DEHQ= ×2DHHQ= × t= t2,

t2 t2,

∴當DQ=QE時△DEQ的面積比DQ=DE時大.

設Q點坐標為(x,x2+2x﹣3),則D(x, x﹣ ),

∵Q點在直線CF的下方,

∴DQ=t= x﹣ ﹣(x2+2x﹣3)=﹣x2 x+

當x=﹣ 時,tmax=3,

∴(SDEQmax= t2= ,

即以QD為腰的等腰三角形的面積最大值為


【解析】(1)把B點坐標代入拋物線解析式可求得a的值,可求得拋物線解析式,再令y=0,可解得相應方程的根,可求得A點坐標;
   。2)當點P在x軸上方時,連接AP交y軸于點B′,可證△OBP≌△OB′P,可求得B′坐標,利用待定系數(shù)法可求得直線AP的解析式,聯(lián)立直線y=x,可求得P點坐標;當點P在x軸下方時,同理可求得∠BPO=∠B′PO,又∠B′PO在∠APO的內(nèi)部,可知此時沒有滿足條件的點P;
   。3)過Q作QH⊥DE于點H,由直線CF的解析式可求得點C、F的坐標,結(jié)合條件可求得tan∠QDH,可分別用DQ表示出QH和DH的長,分DQ=DE和DQ=QE兩種情況,分別用DQ的長表示出△QDE的面積,再設出點Q的坐標,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得△QDE的面積的最大值. 本題主要考查二次函數(shù)的綜合應用,涉及知識點有待定系數(shù)法、角平分線的定義、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積、等腰三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)及分類討論等.在(2)中確定出直線AP的解析式是解題的關(guān)鍵,在(3)中利用DQ表示出△QDE的面積是解題的關(guān)鍵.本題考查知識點較多,綜合性較強,計算量大,難度較大.

練習冊系列答案
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時間x(天)

1

30

60

90

每天銷售量p(件)

198

140

80

20


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