Question

7．如圖，矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AB=6，BC=8．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向，以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CD方向，以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)后即都停止運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)Q作QM∥AC交AD于點(diǎn)M，連接PM，PQ．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，△PQM的面積為s．
（1）求當(dāng)t為何值時(shí)，PQ∥BD；
（2）求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并確定自變量t的取值范圍；
（3）在運(yùn)動(dòng)過程中是否存在某一時(shí)刻t，使△PQM的面積與矩形ABCD面積的比等于9：32？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)得到比例式，計(jì)算即可；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出AM，根據(jù)矩形的面積公式、梯形的面積公式以及三角形的面積公式計(jì)算即可；
（3）根據(jù)題意列出一元二次方程，解方程即可．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC=8，CD=AB=6
∵PQ∥BD，
∴∠DBC=∠QPC，∠CDB=∠CQP，
∴△CBD∽△CPQ
∴$\frac{CP}{CB}$=$\frac{CQ}{CD}$，即$\frac{8-t}{8}$=$\frac{t}{6}$，
解得，t=$\frac{24}{7}$，
∴當(dāng)t=$\frac{24}{7}$時(shí)，PQ∥BD；
（2）∵M(jìn)Q∥AC，
∴△ACD∽△MQD，
∴$\frac{AD}{DM}$=$\frac{DC}{CQ}$，即$\frac{8}{8-AM}$=$\frac{6}{6-t}$，
解得，AM=$\frac{4}{3}$t，
由題意，S=矩形ABCD的面積-梯形ABPM的面積-△DMQ的面積-△PCQ的面積
=6×8-$\frac{1}{2}×$（t+$\frac{4}{3}$t）×6-$\frac{1}{2}×$（8-t）×t-$\frac{1}{2}×$（8-$\frac{4}{3}$t）（6-t）
=-$\frac{1}{6}$t²-3t+24，
自變量t的取值范圍是0≤t≤6；
（3）由題意得，-$\frac{1}{6}$t²-3t+24=$\frac{9}{32}$×48，
整理得，t²+18t-63=0，
解得，t₁=3，t₂=-21（不合題意，舍去），
∴當(dāng)t=3秒時(shí)，△PQM的面積與矩形ABCD面積的比等于9：32．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)解析式的確定，靈活運(yùn)用相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理、理解矩形的四個(gè)角都是直角是解題的關(guān)鍵．