Question

已知，正方形ABCD中，∠MAN="45°," ∠MAN繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長線）于點(diǎn)M、N，AH⊥MN于點(diǎn)H．
【小題1】如圖①，當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時，請你直接寫出AH與AB的數(shù)
量關(guān)系：            ；
【小題2】如圖②，當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時，（1）中發(fā)現(xiàn)的AH與AB的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如果不成立請寫出理由．如果成立請證明；
【小題3】如圖③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于點(diǎn)H，且MH=2，NH=3，求AH的長．
（可利用（2）得到的結(jié)論）           

Answer 1

【小題1】如圖①AH=AB

【小題2】數(shù)量關(guān)系成立.如圖②，延長CB至E，使BE=DN
∵ABCD是正方形
∴AB=AD，∠D=∠ABE=90°
∴Rt△AEB≌Rt△AND…
∴AE=AN，∠EAB=∠NAD
∴∠EAM=∠NAM=45°
∵AM="AM"
∴△AEM≌△ANM
∵AB、AH是△AEM和△ANM對應(yīng)邊上的高，
∴AB=AH

【小題3】如圖③分別沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，
得到△ABM和△AND
∴BM=2，DN=3，∠B=∠D=∠BAD=90°
分別延長BM和DN交于點(diǎn)C，得正方形ABCE．
由（2）可知，AH="AB=BC=CD=AD.                          "
設(shè)AH=x，則MC=, NC=                           
在Rt⊿MCN中，由勾股定理，得
                                    
∴
解得.（不符合題意，舍去）
∴AH=6
.

解析