Question

如圖，已知：⊙O中AB是直徑，點P在AB上，PB平分∠CPD，求證：PC=PD．

Answer 1

考點：圓心角、弧、弦的關(guān)系,全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：過O作OE⊥PC于E，過O作OF⊥PD于F，可得：∠PEO=∠PFO=90°，然后由角平分線的定義可得：∠EPO=∠FPO，然后由AAS可證△OPF≌△OPE，進(jìn)而可得：OE=OF，PE=PF，然后根據(jù)垂徑定理可得：EC=FD，然后根據(jù)線段的和差，即可得證PC=PD．

解答：證明：過O作OE⊥PC于E，過O作OF⊥PD于F，

則∠PEO=∠PFO=90°，
∵PB平分∠CPD
∴∠EPO=∠FPO，
在△OPF和△OPE中，
∵

∠PEO=∠PFO ∠EPO=∠FPO PO=PO

，
∴△OPF≌△OPE
∴OE=OF，PE=PF，
由垂徑定理得：EC=FD，
∵PC=PE+EC，PD=PF+FD，
∴PC=PD．

點評：此題考查了圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，三角形全等的判定與性質(zhì)及垂徑定理，解題的關(guān)鍵是：由三角形全等證明弦心距相等，進(jìn)而得到EC=FD．