(2012•南昌)已知,紙片⊙O的半徑為2,如圖1,沿弦AB折疊操作.
(1)①折疊后的
AB
所在圓的圓心為O′時(shí),求O′A的長(zhǎng)度;
     ②如圖2,當(dāng)折疊后的
AB
經(jīng)過(guò)圓心為O時(shí),求
AOB
的長(zhǎng)度;
     ③如圖3,當(dāng)弦AB=2時(shí),求圓心O到弦AB的距離;
(2)在圖1中,再將紙片⊙O沿弦CD折疊操作.
①如圖4,當(dāng)AB∥CD,折疊后的
AB
CD
所在圓外切于點(diǎn)P時(shí),設(shè)點(diǎn)O到弦AB、CD的距離之和為d,求d的值;
②如圖5,當(dāng)AB與CD不平行,折疊后的
AB
CD
所在圓外切于點(diǎn)P時(shí),設(shè)點(diǎn)M為AB的中點(diǎn),點(diǎn)N為CD的中點(diǎn),試探究四邊形OMPN的形狀,并證明你的結(jié)論.
分析:(1)①折疊后的
AB
所在圓O′與⊙O是等圓,可得O′A的長(zhǎng)度;
②如圖2,過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB交⊙O于點(diǎn)E,連接OA、OB、AE、BE,可得△OAE、△OBE為等邊三角形,從而得到
AOB
的圓心角,再根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可;
③如圖3,連接O′A、O′B,過(guò)點(diǎn)O′作O′E⊥AB于點(diǎn)E,可得△AO′B為等邊三角形,根據(jù)三角函數(shù)的知識(shí)可求折疊后求
AOB
所在圓的圓心O′到弦AB的距離;
(2)①如圖4,
CPD
APB
所在圓外切于點(diǎn)P時(shí),過(guò)點(diǎn)O作EF⊥AB交
AEB
于于點(diǎn)E,交
CFD
于點(diǎn)F,根據(jù)折疊的性質(zhì),可求點(diǎn)O到AB、CD的距離之和;
②根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形即可得證.
解答:解:(1)①折疊后的
AB
所在圓O′與⊙O是等圓,
∴O′A=OA=2;
②當(dāng)
AB
經(jīng)過(guò)圓O時(shí),折疊后的
AB
所在圓O′在⊙O上,如圖2所示,連接O′A、OA、O′B,OB,OO′
∵△OO′A△OO′B為等邊三角形,
∴∠AO′B=∠AO′O+∠BO′O=60°+60°=120°
l
AB
=
120π×2
180
=
3
;
③如圖3所示,連接OA,OB,
∵OA=OB=AB=2,
∴△AOB為等邊三角形,過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E,
∴OE=OA•sin60°=
3


(2)①如圖4,當(dāng)折疊后的
AB
CD
所在圓外切于點(diǎn)P時(shí),
過(guò)點(diǎn)O作EF⊥AB交AB于點(diǎn)H、交
AEB
于點(diǎn)E,交CD于點(diǎn)G、交
CFD
于點(diǎn)F,
即點(diǎn)E、H、P、O、G、F在直徑EF上,
∵AB∥CD,
∴EF垂直平分AB和CD,
根據(jù)折疊的性質(zhì),可知PH=
1
2
PE,PG=
1
2
PF,
又∵EF=4,
∴點(diǎn)O到AB、CD的距離之和d為:
d=PH+PG=
1
2
PE+
1
2
PF=
1
2
(PE+PF)=2,
②如圖5,當(dāng)AB與CD不平行時(shí),
四邊形PNOM是平行四邊形.證明如下:
設(shè)折疊后的
AB
所在圓的圓心為O′,折疊后的
CD
所在圓的圓心為O″,
∵點(diǎn)O′與點(diǎn)O關(guān)于AB對(duì)稱,點(diǎn)O″與點(diǎn)O關(guān)于CD對(duì)稱,
∴O′M=OM,ON=O″N,
∴點(diǎn)M為的OO′中點(diǎn),點(diǎn)N為OO″的中點(diǎn)
∵折疊后的
APB
CPD
所在圓外切,
∴連心線O′O″必過(guò)切點(diǎn)P,
∵折疊后的
APB
CPD
所在圓與⊙O是等圓,
∴O′P=O″P=2,
∴PM=
1
2
OO″=ON,
同理:PN=OM,
∴四邊形OMPN是平行四邊形.
點(diǎn)評(píng):綜合考查了相切兩圓的性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),平行四邊形的判定,垂徑定理,弧長(zhǎng)的計(jì)算,翻折變換(折疊問(wèn)題),解直角三角形,綜合性較強(qiáng),難度較大.
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