Question

（2013•寧德質(zhì)檢）如圖，已知矩形ABCD，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)B沿線段BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，連結(jié)AE、DE，以AE為邊作矩形AG，使邊FG過(guò)點(diǎn)D．
（1 ）求證：△ABE∽△AGD；
（2）求證：矩形AEFG與矩形ABCD的面積相等；
（3）當(dāng)AB=2

3

，BC=6時(shí)，
①求BE為何值時(shí)，△AED為等腰三角形？
②直接寫(xiě)出點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)G所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）易證∠B=∠G，∠BAE=∠DAG，以及有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的三角形形似即可證得；
（2）依據(jù)相似三角形的性質(zhì)可以的到AB•AD=AG•AE，即可證得；
（3）①分AE=AD，AE=ED，AD=ED三種情況進(jìn)行討論，以及勾股定理和三線合一定理即可求得；
②G經(jīng)過(guò)的路線是：以AD的中點(diǎn)為圓心，半徑是3，圓心角是120°的弧，依據(jù)弧長(zhǎng)的計(jì)算公式即可求解．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD和四邊形AEFG是矩形，
∴∠B=∠G=∠BAD=∠EAG=90°，
又∵∠BAE+∠EAD=∠EAD+∠DAG=90°，
∴∠BAE=∠DAG，
∴△ABE∽△AGD；

（2）證明：∵△ABE∽△AGD，
∴

AB

AG

=

AE

AD

，
∴AB•AD=AG•AE，
∴矩形AEFG與矩形ABCD的面積相等；

（3）解：①若△AED是等腰三角形，有一下三種情況．
當(dāng)AE=AD=6時(shí)，AB²+BE²=AE²，
即（2

3

）²+BE²=6²，解得：BE=2

6

；
當(dāng)AE=ED時(shí)，BE=

1

2

AD=

1

2

BC=3；
當(dāng)AD=ED=6時(shí)，同第一種情況可得：EC=2

6

，則BE=6-2

6

；
綜上所述，當(dāng)BE=2

6

或3或6-2

6

時(shí)，△AED是等腰三角形；
②點(diǎn)G經(jīng)過(guò)的路線是：以AD的中點(diǎn)為圓心，半徑是3，圓心角是120°的弧，則路線長(zhǎng)是：

120π×3

180

=2π．

點(diǎn)評(píng)：本題是矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及弧長(zhǎng)的公式，圓周角定理的綜合應(yīng)用，理解定理是關(guān)鍵．