Question

（1）如圖，在銳角△ABC中，利用三角函數(shù)的定義及勾股定理證明你的猜想；
（2）已知∠A為銳角（cosA＞0）且sinA=

3

5

，求cosA．

Answer 1

考點(diǎn)：解直角三角形,勾股定理

專題：計(jì)算題

分析：（1）作BH⊥AC于H，如圖，在Rt△ABH中，由勾股定理得AB²=AH²+BH²，由余弦的定義得AH=AB•cosA；在Rt△CBH中，由勾股定理得BC²=CH²+BH²，
再由CH=AC-AH得到BC²=（AC-AH）²+BH²=AC²-2AC•AH+AH²+BH²，然后利用等量代換得到即BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cosA．
（2）根據(jù)正弦余弦的關(guān)系得到cosA=

1-sin2A

，然后把sinA=

3

5

代入計(jì)算即可．

解答：解：（1）猜想：BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cosA．
證明如下：作BH⊥AC于H，如圖，
在Rt△ABH中，AB²=AH²+BH²，cosA=

AH

AB

，即AH=AB•cosA，
在Rt△CBH中，BC²=CH²+BH²，
而CH=AC-AH，
則BC²=（AC-AH）²+BH²=AC²-2AC•AH+AH²+BH²，
所以BC²=AC²-2AC•AB•cosA+AB²，
即BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cosA．
（2）∵sin²A+cos²A=1，
∴cosA=

1-sin2A

=

1-( 3 5 )2

=

4

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形的定義：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過(guò)程就是解直角三角形．會(huì)運(yùn)用勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義計(jì)算．