Question

【題目】如圖①，已知△ABC是等腰三角形，∠BAC=90°，點D是BC的中點，作正方形DEFG，使點A、C分別在DG和DE上，連接AE、BG．

（1）試猜想線段BG和AE的數(shù)量關系；

（2）如圖②，將正方形DEFG繞點D按逆時針方向旋轉α（0°＜α≤90°），判斷（1）中的結論是否仍然成立，證明你的結論．

(3)若BC=DE=2,在（2）的旋轉過程中,求線段AE長的最大值和最小值

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）成立（3）線段AE長的最大值是3，最小值是1.

【解析】整體分析：

（1）由等腰直角三角形的性質及正方形的性質就可以得出△ADE≌△BDG即可；（2）①如圖2，連接AD，證明△ADE≌△BDG；（3）由（1）可知BG=AE，當BG取得最大值時，AE取得最大值，畫出圖形，根據圖形求解．

解：（1）∵△ABC是等腰三角形，∴BD=DA,

∵四邊形DEFG是正方形，所以GD=DE,∠GDB=∠EDA=90°；

∴△BDG≌△ADE；

∴BG=AE；

（2）成立，證明如下：

連接AD,

∵Rt△BAC中,D為斜邊BC的中點,

∴AD=BD，AD⊥BC，∴∠ADG+∠GDB=90°,

∵EFGD為正方形，∴DE=DG，且∠GDE=90°,

∴∠ADG+∠ADE=90°，∴∠BDG=∠ADE,

△BDG和△AED中，BD=AD，∠BDG=∠ADE，GD=ED，

∴△BDG≌△ADE,

∴BG=AE；

（3）由（2）得BG=AE,當BG取得最大值時,AE取得最大值；

當旋轉角度為270°時，如圖，

BG的最大值為1+2=3，

所以AE的最大值為3；

當旋轉角度為90°時，如圖，

BG的最小值為2-1=1，

所以AE的最小值為1.

所以線段AE長的最大值是3，最小值是1.