Question

【題目】【問(wèn)題情境】一節(jié)數(shù)學(xué)課后，老師布置了一道課后練習(xí)題：

如圖：已知在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E、F分別在A和BC上，∠1=∠2，F(xiàn)G⊥AB于點(diǎn)G，求證：△CDE≌△EGF．

（1）閱讀理解，完成解答

本題證明的思路可用下列框圖表示：

根據(jù)上述思路，請(qǐng)你完整地書(shū)寫(xiě)這道練習(xí)題的證明過(guò)程；

（2）特殊位置，證明結(jié)論

若CE平分∠ACD，其余條件不變，求證：AE=BF；

（3）知識(shí)遷移，探究發(fā)現(xiàn)

如圖，已知在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，若點(diǎn)E是DB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在直線CB上且滿足EC=EF，請(qǐng)直接寫(xiě)出AE與BF的數(shù)量關(guān)系．（不必寫(xiě)解答過(guò)程）

Answer 1

【答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析；(2)證明過(guò)程見(jiàn)解析；(3)AE=BF.

【解析】

試題分析：(1)先證明CE=EF，根據(jù)AAS即可證明△CDE≌△EGF；(2)先證∠ACE=∠2，再證明△ACE≌△BEF，即可得出AE=BF；(3)作EH⊥BC與H，設(shè)DE=x，求出AE=3x，再證出BF=x，即可得出結(jié)論．

試題解析：(1)∵AC=BC，∠ACB=90°， ∴∠A=∠B=45°， ∵CD⊥AB， ∴∠CDB=90°，

∴∠DCB=45°， ∵∠ECF=∠DCB+∠1=45°+∠1，∠EFC=∠B+∠2=45°+∠2，∠1=∠2， ∴∠ECF=∠EFC，

∴CE=EF， ∵CD⊥AB，F(xiàn)G⊥AB， ∴∠CDE=∠EGF=90°，

在△CDE和△EGF中，，∴△CDE≌△EGF（AAS）；

(2)由(1)得：CE=EF，∠A=∠B， ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE=∠1， ∵∠1=∠2，∴∠ACE=∠2，

在△ACE和△BEF中，，∴△ACE≌△BEF（AAS），∴AE=BF；

(3)AE=BF，作EH⊥BC與H，如圖3所示：

設(shè)DE=x，根據(jù)題意得：BE=DE=x，AD=BD=2x，CD=AD=2x，AE=3x， 根據(jù)勾股定理得：BC=AC=2x，

∵∠ABC=45°，EH⊥BC， ∴BH=x， ∴CH=BC﹣BH=x， ∵EC=EF， ∴FH=CH=x，

∴BF=x﹣x=x， ∴， ∴AE=BF．