Question

如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)B（-2，3），原點(diǎn)O和x軸上另一點(diǎn)A，它的對稱軸與x軸交于點(diǎn)C（2，0）．
（1）求此拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）連接CB，在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)E，使得CB=CE，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，連接BE，設(shè)BE的中點(diǎn)為G，在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得△PBG的周長最小？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線的對稱軸可得出A點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)O、A、B三點(diǎn)坐標(biāo)，用待定系數(shù)法可求出拋物線的解析式．
（2）可根據(jù)B、C的坐標(biāo)，求出BC的長，然后根據(jù)CB=CE，將C點(diǎn)坐標(biāo)向上或向下平移BC個(gè)單位即可得出E點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）本題的關(guān)鍵是確定P點(diǎn)的位置，可取B關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)D，連接DG，直線DG與拋物線對稱軸的交點(diǎn)即為所求P點(diǎn)的位置．可先求出直線DG的解析式，然后聯(lián)立拋物線對稱軸方程即可求出P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）由題意知：A（4，0）；
設(shè)拋物線的解析式為y=ax（x-4），已知拋物線過B（-2，3）；則有：
3=ax（-2）×（-2-4），
a=

1

4

∴拋物線的解析式為：y=

1

4

x²-x；

（2）過點(diǎn)B作BM⊥MC，
∵B點(diǎn)坐標(biāo)為：（-2，3），C點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，0），
∴MC=4，BM=3，
BC=

BM2+MC2

=5，
∴|CE|=5，
∴E₁（2，5），E₂（2，-5）；

（3）存在．
①當(dāng)E₁（2，5）時(shí)，G₁（0，4），設(shè)點(diǎn)B關(guān)于直線x=2的對稱點(diǎn)為D，
其坐標(biāo)為（6，3）
直線DG₁的解析式為：y=-

1

6

x+4，
∴P₁（2，

11

3

）
②當(dāng)E₂（2，-5）時(shí)，G₂（0，-1），直線DG₂的解析式為：y=

2

3

x-1
∴P₂（2，

1

3

）
綜合①、②存在這樣的點(diǎn)P，使得△PBG的周長最小，且點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，

11

3

）
或（2，

1

3

）．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)解析式的確定、等腰三角形的判定、軸對稱圖形的性質(zhì)等知識，（3）中能正確找出P點(diǎn)位置是解題的關(guān)鍵．