Question

如圖，在矩形ABCD中，BD=20，AD＞AB，設(shè)∠ABD=α，已知sinα是方程25x²-35x+12=0的一個實根，點E，F(xiàn)分別是BC，DC上的點，EC+CF=8，設(shè)BE=x，△AEF的面積等于y．
（1）求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)E，F(xiàn)兩點在什么位置時，y有最小值并求出這個最小值．

Answer 1

分析：（1）本題中△AEF的面積無法直接求出，可用梯形ABCF的面積-△ABE的面積-△CEF的面積來求．關(guān)鍵是求出AD，BC的長．先通過解方程求出sinα的值，進而可在直角三角形ABD中，根據(jù)BD的長和α的正弦值求出AD，AB的長，即可表示出AB、BE、CE、CF的長，然后按上面所說的△AEF的面積計算方法即可求出y，x的函數(shù)關(guān)系式．
（2）根據(jù)（1）得出的函數(shù)的性質(zhì)即可得出y的最小值以及對應(yīng)的x的值．可根據(jù)x的值來確定E、F兩點的位置．

解答：解：（1）解方程可得sinα₁=

3

5

或sinα₂=

4

5

，
∵AD＞AB，
∴sinα=

3

5

，舍去
取sinα=

4

5

，則有AD=16，AB=12
∵BE=x，
∴EC=16-x，F(xiàn)C=8-EC=x-8，DF=12-FC=20-x．
則△AEF的面積y=16×12-

1

2

×12x-

1

2

×16（20-x）-

1

2

（16-x）（x-8）
=

1

2

x²-10x+96（8＜x＜16）．

（2）y=

1

2

x²-10x+96=

1

2

（x-10）²+46，
所以當(dāng)x=10，即BE=10，CF=2時，y有最小值為46．

點評：本題主要考查了矩形的性質(zhì)、解直角三角形、圖形面積的求法及二次函數(shù)的綜合應(yīng)用等知識點．
不規(guī)則圖形或無法直接求出的圖形面積通常轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積的和差．