Question

如圖1，點E是等邊△ABC的邊BC上一點，以AE為邊作等邊△AEF，EF交AC于D．
（1）寫出圖中所有與∠BAE相等的角

 

；
（2）連接CF，求證：∠EAC=∠EFC；
（3）如圖2，作EH∥AF，EH交AB于點H，求證：

EB

EC

=

EH

ED

．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：

分析：（1）如圖1，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠B=∠AEF=∠BAC=∠EAF=60°；然后由圖中相關(guān)角與角間的和差關(guān)系得到圖中所有與∠BAE相等的角是：∠FAC、∠CEF；
（2）如圖1，連接CF．通過證明△ABE≌△ACF（SAS）得到：∠ACF=∠B；然后根據(jù)三角形外角性質(zhì)推知：∠EDC=∠AED+∠EAD=∠ACF+∠EFC，則∠EAC=∠EFC；
（3）通過證明△EBH∽△ECD來推知

EB

EC

=

EH

ED

．

解答：解：（1）∵△ABC、△AEF為等邊三角形，
∴∠B=∠AEF=∠BAC=∠EAF=60°．
∵∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠B+∠BAE，
∴∠CEF=∠BAE．
又∵∠BAC=∠BAE+∠EAC，∠EAF=∠FAC+∠EAC，
∴∠FAC=∠BAE．
綜上所述，圖中所有與∠BAE相等的角是：∠FAC、∠CEF；
故答案為：∠FAC、∠CEF；

（2）如圖1，連接CF．
∵△ABC、△AEF為等邊三角形，
∴AB=AC，AE=AF，
∴在△ABE和△ACF中

AB=AC ∠BAE=∠CAF AE=AF

∴△ABE≌△ACF（SAS）．
∴∠ACF=∠B，
∵∠CDE=∠AED+∠EAD=∠ACF+∠EFC，
∴∠EAC=∠EFC；

（3）如圖2，連接FC．
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠C=∠BAC=60°．
∵EH∥AF，
∴∠BHE=∠BAF=60°+∠FAC．
又∵∠CDE=60°+∠EAC．
由（1）、（2）知，∠BAE=∠FAC=∠CEF，∠EAC=∠EFC，
∴∠BHE=∠CDE，
∴△EBH∽△ECD，
∴

EB

EC

=

EH

ED

．

點評：本題綜合考查了相似三角形的性質(zhì)，用到的知識點有等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)三角形的外角和定理、平行線的性質(zhì)，題目的綜合性較強難度較大，是一道不錯的中考題．