Question

【題目】已知拋物線與x軸交于點(diǎn)、B，與y軸交于點(diǎn)C，對稱軸是直線．

求拋物線的解析式；

如圖，求外接圓的圓心M的坐標(biāo)；

如圖，在BC的另一側(cè)作，射線CF交拋物線于點(diǎn)F，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為

【解析】

（1）根據(jù)拋物線的對稱性，結(jié)合已知條件求得點(diǎn)B的坐標(biāo)為，設(shè)拋物線解析式為，整理可得，所以，解得，即可求得拋物線解析式為；（2）先求得，由外接圓的圓心M在AB的垂直平分線上，可得，，由兩點(diǎn)間的距離公式可得，解得，即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）直線交BC于H，延長AH交CF于G，易得為等腰直角三角形，所以，，再由可得，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得點(diǎn)G的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求得直線CG的解析式，把直線CG的解析式和拋物線的解析式聯(lián)立組成方程組，解方程組即可求得點(diǎn)F的坐標(biāo).

解：拋物線的對稱軸為直線，

點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)B的坐標(biāo)為，

設(shè)拋物線解析式為，

即，

，解得，

拋物線解析式為；

當(dāng)時(shí)，，則，

外接圓的圓心M在AB的垂直平分線上，如圖1，

設(shè)，

，

，解得，

點(diǎn)的坐標(biāo)為；

直線交BC于H，延長AH交CF于G，如圖2，

，

為等腰直角三角形，

，

而，

為等腰直角三角形，

，，

，

，

設(shè)，

，，

，，

，

設(shè)直線CG的解析式為，

把，代入得，解得，

直線CG的解析式為，

解方程組得或，

點(diǎn)的坐標(biāo)為