Question

如圖，正方形OABC中點B（4，4），點E、F分別在AB、BC上，∠EOF=45°．
（1）求證：△BEF的周長為定值；
（2）當AE=1時 求EF的坐標．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,坐標與圖形性質,勾股定理,正方形的性質

專題：

分析：（1）如圖，作輔助線；證明△OAE≌△OCG，得到∠AOE=∠COG，進而得到∠FOG=45°，此為解題的關鍵性結論；證明△OEF≌△OGF，即可解決問題．
（2）根據（1）中的結論，運用勾股定理求出CF的長度，即可解決問題．

解答：解：（1）如圖，延長BF到G，使CG=AE；連接OG；
∵四邊形OABC為正方形，且點B坐標為（4，4）
∴OA=OC=4；∠A=∠OCG=90°；
在△OAE與△OCG中，

OA=OC ∠OAE=∠OCG AE=CG

，
∴△OAE≌△OCG（SAS），
∴∠AOE=∠COG（設為α）；OE=OG；
∴∠FOG=∠FOC+∠AOE=90°-45°=45°；
在△OEF與△OGF中，

OE=OG ∠EOF=∠GOF OF=OF

，
∴△OEF≌△OGF（SAS），
∴EF=GF=AE+CF；
∴△BEF的周長=2AB=8，為定值．
（2）設FC=λ，則BF=4-λ，EF=1+λ；BE=4-1=3；
由勾股定理得：（λ+1）²=3²+（4-λ）²，
解得：λ=

12

5

，
故E、F兩點的坐標分別為E（4，1）、F（

12

5

，4）．

點評：該題主要考查了正方形的性質、全等三角形的判定及其性質、勾股定理及其應用問題；解題的關鍵是作輔助線，靈活運用有關定理來分析、判斷、解答．