Question

（2002•武漢）已知拋物線交x軸于A（x₁，0）、B（x₂，0），交y軸于C點，且x₁＜0＜x₂，（AO+OB）²=12CO+1．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在x軸的下方是否存在著拋物線上的點P，使∠APB為銳角？若存在，求出P點的橫坐標的范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）可根據（AO+OB）²=12CO+1以及一元二次方程根與系數的關系來求出m的值，進而可確定出拋物線的解析式；
（2）本題的關鍵是找出∠APB為直角時，P點的位置，根據（1）的拋物線不難得出A，B，C三點的坐標為（-1，0）（4，0）
（0，-2）．如果∠APB為直角，那么點P必為以AB為直徑的圓與拋物線的交點．據此可判斷出∠APB時，P點橫坐標的范圍．
解答：解：（1）拋物線y=x²-mx-2m交x軸于A（a，0）和B（b，0），
所以a+b=3m，a•b=-4m，
∵拋物線開口向上，與X軸有兩個交點，
∴C點在Y軸下半軸上，所以點C（0，-2m），-2m＜0，所以m＞0，
AO+OB=|a-b|，OC=|-2m|=2m，
所以（AO+OB）²=（a-b）²=（a+b）-4ab=9m²+16m，
12OC+1=24m+1，
∴9m²+16m=24m+1，
9m²-8m-1=0，
m=1或m=-＜0，舍去，
∴m=1，
即拋物線的解析式為：y=x²-x-2；

（2）易知：A點坐標為（-1，0），B點坐標為（4，0），C點坐標為（0，-2），
連接AC，BC，AC=，BC=2，AB=5，
∴AC²+BC²=AB²，
∴∠ACB=90°，
設C關于拋物線對稱軸的對稱點為C′，
那么C′坐標為（3，-2），
根據拋物線的對稱性可知：如果連接AC′、BC′，那么∠AC′B=90°，
因此如果以AB為直徑作圓，那么此圓必過C，C′，
根據圓周角定理可知：x軸下方的半圓上任意一點和A、B組成的三角形都是直角三角形，
如果設P點橫坐標為x，那么必有當0＜x＜3時，∠APB為銳角，
當-1＜x＜0或3＜x＜4時，∠APB為鈍角．
點評：本題考查了一元二次方程根與系數的關系，二次函數解析式的確定等知識點．要注意的是（2）中結合圓周角的相關知識來理解問題可使問題簡化．