【題目】在平面直角坐標系中,點為第一象限內(nèi)一點,點軸正半軸上一點,分別連接,,為等邊三角形,點的橫坐標為4.

1)如圖1,求線段的長;

2)如圖2,點在線段上(點不與點、點重合),點在線段的延長線上,連接,,設的長為的長為,求的關系式(不要求寫出的取值范圍)

3)在(2)的條件下,點為第四象限內(nèi)一點,分別連接,,為等邊三角形,線段的垂直平分線交的延長線于點,交于點,連接,交于點,連接,若,求點的橫坐標.

【答案】(1)8;2d=t+8;(3)6

【解析】

1)過點BBHOA于點H,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)解答即可;
2)過點MMPAB于點P,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)解答即可;
3)過點NNKOB,交x軸于點K,過點NNRx軸于點R,通過等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)得到AN=8+t-8=t,OM=tAH=MH=AM=8-t=4-t,
OH=OM+MH=t+4-t=4+t,通過證明AM=AN,可得關于t的方程,求出t,即可得點E的橫坐標.

解:(1)如圖,過點BBHOA于點H

∵△AOB為等邊三角形,
BO=BA
BHOA,
OH=AH,
∵點B橫坐標為4,
OH=4
OA=2HO=8;
2)如圖,過點MMPAB于點P,

∴∠MPA=90°,
BM=MN,
BP=PN,
∵△AOB為等邊三角形,
BA=AO=8,∠BAO=60°,
∴∠AMP=30°
AP=AM,
AM=8-t,
AP=8-t=4-t,
BP=AB-AP=4+t
BN=2BP=8+t,
d=8+t
3)過點NNKOB,交x軸于點K,過點NNRx軸于點R,

∵△AOB為等邊三角形,
∴∠BOA=60°=OAB,
NKOB,
∴∠NKA=BOA=60°,且∠OAB=NAK=60°,
∴∠NAK=NKA=60°,
∴△AKN是等邊三角形
AN=NK=AK,
∵△MND為等邊三角形,
∴∠NMD=MND=60°,MN=MD,
∴∠OMD+NMK=NMK+MNK=180°-60°=120°,
∴∠OMD=MNK
AN=8+t-8=t,OM=t,
OM=AN=NK=AK=t,且∠OMD=MNK,MD=MN,
∴△OMD≌△KNMSAS),
OD=MK,∠MOD=MKN=60°
MK=8-t+t=8,
OD=8
EH垂直平分MA
AH=MH=AM=8-t=4-t,
OH=OM+MH=t+4-t=4+t
∵∠OEH=90°-60°=30°
OE=2HO=8+t,
DE=8+t-8=t
DE=AN,
∵∠DOA=BAO,
BNOE,
∴∠NAF=DEF,
又∵∠AFN=EFDAN=DE,
∴△AFN≌△EFDAAS),
FN=FD,
又∵MN=MD,
MFDN,
NRAK
∴∠ARN=90°,且∠NAK=60°,
∴∠ANR=30°
AR=AN,
MR=AM+AR=AM+AN,MF=AM+AN
MR=MF,且MFDNNRAK,
∴∠MNR=MND=60°,
∴∠NMA=90°-60°=30°
∵∠BAO=AMN+ANM,
∴∠AMN=ANM=30°,
AM=AN,
8-t=t,
t=4,
OH=4+×4=6
∴點E的橫坐標為6

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