Question

【題目】△ABC和△DEF的頂點(diǎn)A與D重合，已知∠B=90°，∠BAC=30°，BC=6，∠FDE=90°，DF=DE=4．

（1）如圖①，EF與邊AC、AB分別交于點(diǎn)G、H，且FG=EH.設(shè)，在射線DF上取一點(diǎn)P，記： ，聯(lián)結(jié)CP設(shè)△DPC的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；

（2）在（1）的條件下，求當(dāng)x為何值時(shí)PC//AB；

（3）如圖②，先將△DEF繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)E恰好落在AC邊上，在保持DE邊與AC邊完全重合的條件下，使△DEF沿著AC方向移動(dòng)當(dāng)△DEF移動(dòng)到什么位置時(shí)，以線段AD、FC、BC的長(zhǎng)度為邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）當(dāng)移動(dòng)到AD=時(shí)，以線段AD、FC、BC的長(zhǎng)度為邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形．

【解析】試題分析：（1）首先證明△DFG≌△DEH（SAS），進(jìn)而得出∠FDG=∠EDH，進(jìn)而得出DF=||=x||=x||=4x，在Rt△DPH中，∠FDG=30°，可得PH′=DP=2x，由y=S△PDC=DCPH′求出即可；

（2）由（1）知∠FDG=30°，得出∠FDG=∠DCP，以及DP=PC若PH⊥AB則M是DC的中點(diǎn)DM=6，在Rt△DPH中，∠FDG=30°，利用cos∠FDG=求出AP的長(zhǎng)，進(jìn)而得出x的值；

（3）分別利用線段AD、FC、BC的長(zhǎng)為斜邊時(shí)求出符合條件的值即可．

試題解析：（1）如圖①，過(guò)P作PH′⊥AC于H′．

∵DF=DE，

∴∠DFE=∠E

又∵FG=EH，

在△DFG和△DEH中

，

∴△DFG≌△DEH（SAS），

∴∠FDG=∠EDH，

∵∠FDE=90°，且∠FDE=∠FDG+∠EDH+∠BAC

∵∠BAC=30°，

∴∠FDG=30°，

∵DF=4，

∴||=4

∵=x=x，

∴DP=||=x||=x||=4x，

在Rt△DPH中，∠FDG=30°，

∴PH′=DP=2x，

∠B=90°，∠BAC=30°，BC=6，

∴AC=CD=12，

y=S△PDC=DCPH′=×122x=12x（x＞0）；

（2）∵PC∥AB，

∴∠BAC=∠DCP

∵∠BAC=30°，

∴∠DCP=30°，

由（1）知∠FDG=30°，

∴∠FDG=∠DCP，

∴DP=PC

若PH⊥AB，則M是DC的中點(diǎn)DM=6，

在Rt△DPH中，∠FDG=30°，

cos∠FDG===，

∴AP=4，

DP=AP=4x，

∴x=；

（3）如圖②，

設(shè)AD=t，DC=12-t（0＜t＜12）

FC2=DF2+DC2=42+（12-t）2，

①AD2=FC2+BC2

t2=42+（12-t）2+36

解得：t=（FC至少等于4，故不合題意，舍去）

②BC2=FC2+AD2

36=42+（12-t）2+t2，無(wú)解，

③FC2=BC2+AD2

∴42+（12-t）2=36+t2

解得t=，

∴當(dāng)△DEF移動(dòng)到AD=時(shí)，以線段AD、FC、BC的長(zhǎng)度為邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形．