【題目】如圖,在RtABC中,ACBC,∠ACB90°,DAB的中點,E為線段AD上一點,過E點的線段FGCD的延長線于G點,交ACF點,且EGAE.分別延長CE,BG交于點H,若EH平分∠AEGHD平分∠CHG則下列說法:①∠GDH45°;②GDED;③EF2DM;④CG2DE+AE,正確的是( 。

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

【答案】B

【解析】

首先證明△AEC≌△GECSAS),推出CA=CG,∠A=CGE=45°,推出DE=DG,故②正確;再證明△EDC≌△GDB,推出∠CED=BGDED=GD,由三角形外角的性質(zhì)得出∠HDG=HDE,進而得出∠GDH=EDH=45°,即可判斷①正確;

通過證明△EDC和△EMD是等腰直角三角形,得到ED=MD,再通過證明△EFC≌△EDC,得到EF=ED,從而可判斷③錯誤;由CG=CD+DGCD=AD,ED=GD,變形即可判斷④正確.

AC=BC,∠ACB=90°,AD=DB,

CDAB,CD=AD=DB,∠A=CBD=45°.

EH平分∠AEG

∴∠AEH=GEH

∵∠AEH+AEC=180°,∠GEH+CEG=180°,

∴∠AEC=CEG

AE=GE,EC=EC,

∴△AEC≌△GECSAS),

CA=CG,∠A=CGE=45°.

∵∠EDG=90°,

∴∠DEG=DGE=45°,

DE=DG,∠AEF=DEG=A=45°,

故②正確;

DE=DG,∠CDE=BDG=90°,DC=DB,

∴△EDC≌△GDBSAS),

∴∠CED=BGD,ED=GD

HD平分∠CHG,

∴∠GHD=EHD

∵∠CED=EHD+HDE,∠BGD=GHD+HDG,

∴∠HDG=HDE

∵∠EDG=ADC=90°,

∴∠GDH=EDH=45°,故①正確;

∵∠EDC=90°,ED=GD,

∴△EDC是等腰直角三角形,

∴∠DEG=45°.

∵∠GDH=45°,

∴∠EDH=45°,

∴△EMD是等腰直角三角形,

ED=MD

∵∠AEF=DEG=A=45°,

∴∠AFE=CFG=90°.

∵∠EDC=90°,

∴∠EFC=EDC=90°.

EH平分∠AEG,

∴∠AEH=GEH

∵∠FEC=GEH,∠DEC=AEH,

∴∠FEC=DEC

EC=EC,

∴△EFC≌△EDC

EF=ED,

EF=MD

故③錯誤;

CG=CD+DG=AD+ED=AE+ED+ED,

CG=2DE+AE,

故④正確.

故選B

練習冊系列答案
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