【題目】如圖1,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,CA=CB,CE=CD,△ACB的頂點(diǎn)A在△ECD的斜邊DE上.
(1)求證:AE2+AD2=2AC2;
(2)如圖2,若AE=3,AC=,點(diǎn)F是AD的中點(diǎn),求出CF的長(zhǎng).
【答案】(1)證明見解析;(2)
【解析】
(1)連接BD,根據(jù)題意可以證明△ADB是直角三角形,然后根據(jù)三角形全等和勾股定理即可證明結(jié)論成立;
(2)過C作CM⊥ED于M.根據(jù)(1)中的結(jié)論得到AD的長(zhǎng),從而得到ED的長(zhǎng),根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到CM和MD的長(zhǎng),根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)及線段的和差得到MF的長(zhǎng).在Rt△CMF中,根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.
(1)連接BD.
∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,CA=CB,CE=CD,∴∠ECA+∠ACD=∠ACD+∠DCB=90°,∠CEA=∠CDE=45°,∠CAB=∠CBA=45°,∴∠ECA=∠DCB.
在△ECA和△DCB中,,∴△ECA≌△DCB(SAS),∴AE=BD,∠CEA=∠CDB,∴∠ADB=∠CDB+∠EDC=90°,∴△ADB是直角三角形,∴AD2+BD2=AB2.
在Rt△ACB中,AC=BC,AC2+BC2=2AC2=AB2,∴2AC2=AD2+BD2,即AE2+AD2=2AC2;
(2)過C作CM⊥ED于M.
∵AE2+AD2=2AC2,AE=3,AC=,∴AD=9,∴ED=EA+AD=3+9=12.
∵點(diǎn)F是AD的中點(diǎn),∴AF=DF=4.5.
∵△ECD是等腰直角三角形,∴CM=ED=MD=6,∴MF=MD-DF=6-4.5=1.5.在Rt△CMF中,CF===.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)P,根據(jù)下列條件,求∠BPC的度數(shù).
(1)若∠ABC=50°,∠ACB=60°,則∠BPC= ;
(2)若∠ABC+∠ACB=120°,則∠BPC= ;
(3)若∠A=80°,則∠BPC= ;
(4)從以上的計(jì)算中,你能發(fā)現(xiàn)已知∠A,求∠BPC的公式是:∠BPC= (提示:用∠A表示).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為節(jié)約能源,某單位按以下規(guī)定收取每月電費(fèi):用電不超過140度,按每度元收費(fèi),如果超過140度,超過部分按每度元收費(fèi).
若某住戶六月份的用電量是130度,該用戶六月份應(yīng)繳多少電費(fèi)?
若該住戶七月份的用電量是200度,該用戶七月份應(yīng)繳多少電費(fèi)?
若某住戶十月份的用電量是a度,該用戶十月份應(yīng)繳多少電費(fèi)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,長(zhǎng)方形ABCD中,∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°,AD=BC=16,AB=CD=34.點(diǎn)E為射線DC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),△ADE與△AD′E關(guān)于直線AE對(duì)稱,當(dāng)△AD′B為直角三角形時(shí),求DE的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,OB=OD,BD=CD,∠BAC=∠BDC=90°.
(1)填空:∠ABD=∠ ;
(2)求的值;
(3)點(diǎn)D關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)為N,連接AN,請(qǐng)補(bǔ)全圖形,探究線段AN,AD有怎樣的關(guān)系,并加以證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了倡導(dǎo)綠色出行,某市政府2016年投資了320萬(wàn)元,首期建成120個(gè)公共自行車站點(diǎn),配置2500輛公共自行車,2017年又投資了104萬(wàn)元新建了40個(gè)公共自行車站點(diǎn),配置800輛公共自行車.
(1)請(qǐng)問每個(gè)站點(diǎn)的造價(jià)和公共自行車的單價(jià)分別是多少萬(wàn)元?
(2)若到2020年該市政府將再建造個(gè)新公共自行車站點(diǎn)和配置輛公共自行車,并且公共自行車數(shù)量不超過新公共自行車站點(diǎn)數(shù)量的23倍,并且再建造的新公共自行車站點(diǎn)不超過102個(gè),市政府共有幾種選擇方案,哪種方案市政府投入的資金最少?(注:從2016年起至2020年,每個(gè)站點(diǎn)的造價(jià)和公共自行車的單價(jià)每年都保持不變)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,六邊形的內(nèi)角都相等,,則下列結(jié)論成立的個(gè)數(shù)是
① ;②;③;④四邊形是平行四邊形;⑤六邊形 即是中心對(duì)稱圖形,又是軸對(duì)稱圖形( )
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A在拋物線y=x2﹣2x+4上運(yùn)動(dòng).過點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C,以AC為對(duì)角線作矩形ABCD,連結(jié)BD,則對(duì)角線BD的最小值為 .
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