【題目】如圖,在矩形中,,,將矩形繞點旋轉,點、、的對應點分別為、、,當落在邊的延長線上時,邊與邊的延長線交于點,聯(lián)結,那么線段的長度為_________.
【答案】
【解析】
由旋轉的性質得CD=CD'=3,A'D'=AD=4,∠ADC=∠A'D'C=90°,由勾股定理得出A'C=5,則A'D=A'C-CD=5-3=2,證Rt△CDF≌Rt△CD'F(HL),得出DF=D'F,設DF=D'F=x,則A'F=4-x,在Rt△A'DF中,由勾股定理得出方程,解方程得DF=,由勾股定理即可得出CF的長度.
∵四邊形ABCD是矩形,
∴AB=CD=3,AD=BC=4,∠ADC=90°,
∴∠A'DF=∠CDF=90°,
由旋轉的性質得:CD=CD'=3,A'D'=AD=4,∠ADC=∠A'D'C=90°,
∴,
∴A'D=A'C-CD=5-3=2,
在Rt△CDF和Rt△CD'F中,
,
∴Rt△CDF≌Rt△CD'F(HL),
∴DF=D'F,
設DF=D'F=x,則A'F=4-x,
在Rt△A'DF中,由勾股定理得:22+x2=(4-x)2,
解得:x=,
∴;
故答案為:.
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,函數(shù)y=(x>0)的圖象與直線y=mx交于點A(2,2).
(1)求k,m的值;
(2)點P的橫坐標為n(n>0),且在直線y=mx上,過點P作平行于x軸的直線,交y軸于點M,交函數(shù)y=(x>0)的圖象于點N.
①n=1時,用等式表示線段PM與PN的數(shù)量關系,并說明理由;
②若PN≥3PM,結合函數(shù)的圖象,直接寫出n的取值范圍.
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【題目】某數(shù)學活動小組在作三角形的拓展圖形,研究其性質時,經(jīng)歷了如下過程:
●操作發(fā)現(xiàn):
在等腰△ABC中,AB=AC,分別以AB和AC為斜邊,向△ABC的外側作等腰直角三角形,如圖1所示,其中DF⊥AB于點F,EG⊥AC于點G,M是BC的中點,連接MD和ME,則下列結論正確的是 (填序號即可)
①AF=AG=AB;②MD=ME;③整個圖形是軸對稱圖形;④∠DAB=∠DMB.
●數(shù)學思考:
在任意△ABC中,分別以AB和AC為斜邊,向△ABC的外側作等腰直角三角形,如圖2所示,M是BC的中點,連接MD和ME,則MD和ME具有怎樣的數(shù)量和位置關系?請給出證明過程;
●類比探索:
在任意△ABC中,仍分別以AB和AC為斜邊,向△ABC的內側作等腰直角三角形,如圖3所示,M是BC的中點,連接MD和ME,試判斷△MED的形狀.
答: .
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【題目】陜西省某甜瓜基地因“規(guī)模大、品質好、品牌亮”吸引了周邊大批水果批發(fā)商訂購,該基地對需要送貨上門且購買量在(含1000kg和3000kg)的客戶制定了兩種銷售方案(客戶只能選擇其中一種方案),已知該基地甜瓜批發(fā)價隨市場變化波動,設某天批發(fā)價為每千克m元.
方案一:每千克元,免運費;
方案二:每千克m元,客戶需支付運費1200元.
(1)請分別寫出這一天按方案一、方案二購買這種甜瓜的應付款y(元)與購買量x(kg)之間的函數(shù)表達式;
(2)當購買量x在什么范圍時,選擇方案二比方案一付款少;
(3)已知5月某天批發(fā)價為每千克8元,某水果批發(fā)商計劃用25000元在這一天購買盡可能多的這種甜瓜并需要送貨上門,那么他在這兩種方案中,應選擇哪一種方案?
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【題目】已知,在中,,,點為的中點.
(1)若點、分別是、的中點,則線段與的數(shù)量關系是 ;線段與的位置關系是 ;
(2)如圖①,若點、分別是、上的點,且,上述結論是否依然成立,若成立,請證明;若不成立,請說明理由;
(3)如圖②,若點、分別為、延長線上的點,且,直接寫出的面積.
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【題目】甲、乙兩輛汽車沿同一公路從A地出發(fā)前往路程為100千米的B地,乙車比甲車晚出發(fā)15分鐘,行駛過程中所行駛的路程分別用y1、y2(千米)表示,它們與甲車行駛的時間x(分鐘)之間的函數(shù)關系如圖所示.
(1)分別求出y1、y2關于x的函數(shù)解析式并寫出定義域;
(2)乙車行駛多長時間追上甲車?
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【題目】已知:如圖,ABC為銳角三角形,AB=BC,CD∥AB.
求作:線段BP,使得點P在直線CD上,且∠ABP=.
作法:①以點A為圓心,AC長為半徑畫圓,交直線CD于C,P兩點;②連接BP.線段BP就是所求作線段.
(1)使用直尺和圓規(guī),依作法補全圖形(保留作圖痕跡)
(2)完成下面的證明.
證明:∵CD∥AB,
∴∠ABP= .
∵AB=AC,
∴點B在⊙A上.
又∵∠BPC=∠BAC( )(填推理依據(jù))
∴∠ABP=∠BAC
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【題目】在中,,OA平分交BC于點O,以O為圓心,OC長為半徑作圓交BC于點D.
(1)如圖1,求證:AB為的切線;
(2)如圖2,AB與相切于點E,連接CE交OA于點F.
①試判斷線段OA與CE的關系,并說明理由.
②若,求的值.
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【題目】新房裝修后,甲居民購買家居用品的清單如下表,因污水導致部分信息無法識別,根據(jù)下表解決問題:
家居用品名稱 | 單價(元) | 數(shù)量(個) | 金額(元) |
掛鐘 | 30 | 2 | 60 |
垃圾桶 | 15 | ||
塑料鞋架 | 40 | ||
藝術字畫 | 2 | 90 | |
電熱水壺 | 35 | 1 | |
合計 | 8 | 280 |
(1)直接寫出________,________;
(2)甲居民購買了垃圾桶,塑料鞋架各幾個?
(3)若甲居民再次購買藝術字畫和垃圾桶兩種家居用品,共花費150元,若買的垃圾桶的數(shù)量比買字畫的數(shù)量多2個,則甲居民買字畫多少個?
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