Question

【題目】如圖，在中，，，．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作交邊或邊于點(diǎn)，點(diǎn)是射線(xiàn)邊上一點(diǎn)，總保持，以、為鄰邊構(gòu)造矩形，設(shè)矩形與重疊部分圖形的面積為，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．

（1）用含的式子表示線(xiàn)段的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，求的值；

（3）當(dāng)矩形與重疊部分圖形為四邊形時(shí)，求與之間的函數(shù)關(guān)系式；

（4）點(diǎn)與點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，在線(xiàn)段上以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿往返一次，連結(jié)、，直接寫(xiě)出矩形的面積是的面積的2倍時(shí)的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；（4），，．

【解析】

（1）由題意可知：，PB=3t，據(jù)此解答即可；

（2）先根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)，當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，如圖1，在Rt△DPB中先利用∠A的正切用含t的代數(shù)式表示出DP，即為EF，再在Rt△AEF中利用三角函數(shù)的知識(shí)用含t的關(guān)系式表示出AE，由AE+EP+PB=5可得關(guān)于t的方程，解方程即得結(jié)果；

（3）當(dāng)時(shí)，根據(jù)（2）題的結(jié)果利用三角形的面積公式直接解答即可；當(dāng)C、D重合時(shí)，如圖2，當(dāng)A、E兩點(diǎn)重合時(shí)，如圖3，分別求出這兩種情況t的值，進(jìn)而可得矩形與重疊部分圖形為四邊形時(shí)t的范圍，再結(jié)合圖4利用三角函數(shù)的知識(shí)用含t的代數(shù)式表示出DP和RE，然后根據(jù)梯形的面積公式解答即可；

（4）分H、D重合之前，如圖5；H、D重合以后，D、H仍在BC邊上，如圖6；點(diǎn)D在AC邊上、點(diǎn)H在BC邊上，如圖7共三種情況，先利用三角函數(shù)的知識(shí)用含t的代數(shù)式表示出DP邊上的高HT的長(zhǎng)，再根據(jù)矩形的面積是的面積的2倍即可列出關(guān)于t的方程，解方程即可求得結(jié)果．

解：（1）∵，PB=3t，

∴；

（2）在中，∵，，，∴，

當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，如圖1，在Rt△DPB中，，

∵四邊形是矩形，∴EF=DP，

在Rt△AEF中，，

∵AE+EP+PB=5，

∴，解得：；

（3）當(dāng)時(shí)，重合部分為四邊形，由（2）題知：；

當(dāng)C、D重合時(shí)，如圖2，此時(shí)重合部分為四邊形，，即，解得：，

當(dāng)A、E兩點(diǎn)重合時(shí)，如圖3，此時(shí)重合部分為三角形，AP=，由AP+BP=5，得，解得：，

∴當(dāng)時(shí)，如圖4，，

∴；

∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；

（4）①當(dāng)H、D重合之前，由題意知CH=5t，，∴，

于是當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)H作HT⊥PD交PD延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)T，如圖5，則，

若矩形的面積是的面積的2倍，則，

解得：，或t=0（舍去）；

②當(dāng)H、D重合以后，D、H仍在BC邊上，如圖6，此時(shí)，，

若矩形的面積是的面積的2倍，則，

解得：，或t=0（舍去）；

③當(dāng)點(diǎn)D在AC邊上、點(diǎn)H在BC邊上時(shí)，即，如圖7，作HK⊥AB于點(diǎn)K，則，，

若矩形的面積是的面積的2倍，則，

即，解得：．

綜上所述：若矩形的面積是的面積的2倍，t=或或．