Question

如圖，形如三角板的△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，BC=12cm，形如矩形量角器的半圓O的直徑DE=12cm，矩形DEFG的寬EF=6cm，矩形量角器以2cm/s的速度從左向右運動，在運動過程中，點D、E始終在BC所在的直線上，設運動時間為x（s），矩形量角器和△ABC的重疊部分的面積為S（cm²）．當x=0（s）時，點E與點C重合．（圖（3）、圖（4）、圖（5）供操作用）．
（1）當x=3時，如圖（2），S=

 

cm²，當x=6時，S=

 

cm²，當x=9時，S=

 

cm²；
（2）當3＜x＜6時，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當6＜x＜9時，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（4）當x為何值時，△ABC的斜邊所在的直線與半圓O所在的圓相切？

Answer 1

分析：當3＜x＜6時，重疊部分是不規(guī)則的四邊形，不能直接用x表示，要采用面積的分割法來求，先求S_△ABC，S_△AMN，再求S_△BEH，然后求重疊部分的面積；當6＜x＜9時，重疊部分也是不規(guī)則的四邊形，也采用面積的分割法來求，先求S_△ABC，S_△AHM，再
求S_{四邊形HGDC}，這樣才能求出S與x的函數(shù)關(guān)系式

解答：解：（1）36，54，18（7分）

（2）如圖，設矩形DEFG與斜邊AB的交點分別為N、H，與直角邊AC的交點為M；
∵BE=12-2x，AM=12-6=6，（4分）
∴S=S_△ABC-S_△AMN-S_△BHE=

1

2

×12×12-

1

2

×6×6-

1

2

×（12-2x）²=-2x²+24x-18，
∴當3＜x＜6時，S=-2x²+24x-18．（6分）

（3）如圖，

設矩形DEFG與斜邊AB的交點為M，延長FG交AC于點H；
∵AH=12-6=6，HG=2x-12，（7分）
∴S=S_△ABC-S_△AHM-S_矩形HCOG=

1

2

×12×12-

1

2

×6×6-6×（2x-12）=-12x+126，
∴當6＜x＜9時，S=-12x+126．（9分）

（4）如圖，
①過點O′作O′D′⊥AB于點D′，由題意得O′D′=6；
∵∠ABC=45°，∠O′D′B=90°，
∴O′B=

62+62

=6

2

，
∴x₁=

6+12-6 2

2

=9-3

2

（秒）；（10分）
②過點O作OE⊥AB，交AB的延長線于點E，由題意得OE=6；
∵∠OBE=45°，∠OEB=90°，
∴OB=

62+62

=6

2

，
∴x₂=

6+12+6 2

2

=9+3

2

，（秒）
故當x等于（9-3

2

）秒或（9+3

2

）秒時，△ABC的斜邊所在的直線與半圓O所在的圓相切．（12分）

點評：此題用運動的知識，把求函數(shù)關(guān)系式與三角形的有關(guān)知識有機結(jié)合起來，綜合性比較強．