Question

如圖，平面直角坐標系中，直線AB與x軸，y軸分別交與A（3，0）、B（0，

3

）兩點，在第一象限內(nèi)有一點P，使得以P、O、B為頂點的三角形與△OBA相似，則符合條件的點P的坐標為

 

．

Answer 1

考點：相似三角形的判定,一次函數(shù)圖象上點的坐標特征

專題：

分析：先根據(jù)題意得出OA，OB的長，再分△BOP∽△OBA，△BPO∽△OAB，△PBO∽△OAB，△POB∽△OBA四種情況進行分類討論．

解答：解：∵A（3，0）、B（0，

3

）兩點，
∴OA=3，OB=

3

，AB=2

3

，∠OAB=30°．
當∠OBP=90°時，如圖1，
①若△BOP∽△OBA，則∠BPO=∠BAO=30°，BP=

3

OB=3，
∴P₁（3，

3

）；
②若△BPO∽△OAB，則∠BOP=∠BAO=30°，OP=

3

3

OB=1，
∴P₂（1，

3

）；
當∠OPB=90°時，
③過點P作OP⊥AB于點P（如圖2），此時△PBO∽△OAB，
∠BOP=∠BAO=30°，過點P作PM⊥OA，
在Rt△PBO中，BP=

1

2

OB=

3

2

，OP=

3

BP=

3

2

，
∵在Rt△PMO中，∠OPM=60°，
∴OM=

1

2

OP=

3

4

，PM=

3

OM=

3 3

4

，
∴P₃（

3

4

，

3 3

4

）；
④如圖3，若△POB∽△OBA，則∠OBP=∠BAO=30°，∠P₄OM=90°-（90°-30°）=30°，
∴P₄M=

3

3

OM=

3

4

，
∴P₄（

3

4

，

3

4

）．
當∠OPB=90°時，點P在x軸上，不符合要求．
故符合條件的點有四個：P₁（1，

3

），P₂（3，

3

3

），P₃（

3

4

，

3 3

4

），P₄（

3

4

，

3

4

）
故答案為：（1，

3

）或（3，

3

3

）或（

3

4

，

3 3

4

）或（

3

4

，

3

4

）．

點評：本題考查的是相似三角形的判定定理，在解答此題時要進行分類討論，不要漏解．