Question

5．對于某一函數(shù)給出如下定義：若存在實數(shù)p，當其自變量的值為p時，其函數(shù)值等于p，則稱p為這個函數(shù)的不變值．在函數(shù)存在不變值時，該函數(shù)的最大不變值與最小不變值之差q稱為這個函數(shù)的不變長度．特別地，當函數(shù)只有一個不變值時，其不變長度q為零．例如，下圖中的函數(shù)有0，1兩個不變值，其不變長度q等于1．
（1）分別判斷函數(shù)y=x-1，y=$\frac{1}{x}$，y=x²有沒有不變值？如果有，直接寫出其不變長度；
（2）函數(shù)y=2x²-bx．
①若其不變長度為零，求b的值；
②若1≤b≤3，求其不變長度q的取值范圍；
（3）記函數(shù)y=x²-2x（x≥m）的圖象為G₁，將G₁沿x=m翻折后得到的函數(shù)圖象記為G₂．函數(shù)G的圖象由G₁和G₂兩部分組成，若其不變長度q滿足0≤q≤3，則m的取值范圍為．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)定義分別求解即可求得答案；
（2）①首先由函數(shù)y=2x²-bx=x，求得x（2x-b-1）=0，然后由其不變長度為零，求得答案；
②由①，利用1≤b≤3，可求得其不變長度q的取值范圍；
（3）由記函數(shù)y=x²-2x（x≥m）的圖象為G₁，將G₁沿x=m翻折后得到的函數(shù)圖象記為G₂，可得函數(shù)G的圖象關于x=m對稱，然后根據(jù)定義分別求得函數(shù)的不變值，再分類討論即可求得答案．

解答 解：（1）∵函數(shù)y=x-1，令y=x，則x-1=x，無解；
∴函數(shù)y=x-1沒有不變值；
∵函數(shù)y=$\frac{1}{x}$，令y=x，則x=$\frac{1}{x}$，解得：x=±1，
∴函數(shù)y=$\frac{1}{x}$的不變值為±1，q=1-（-1）=2，
∵函數(shù)y=x²，令y=x，則x=x²，解得：x₁=0，x₂=1，
∴函數(shù)y=x²的不變值為：0或1，q=1-0=1；

（2）①函數(shù)y=2x²-bx，令y=x，則x=2x²-bx，
整理得：x（2x-b-1）=0，
∵q=0，
∴x=0且2x-b-1=0，
解得：b=-1；
②由①知：x（2x-b-1）=0，
∴x=0或2x-b-1=0，
解得：x₁=0，x₂=$\frac{b+1}{2}$，
∵1≤b≤3，
∴1≤x₂≤2，
∴1-0≤q≤2-0，
∴1≤q≤2；

（3）∵記函數(shù)y=x²-2x（x≥m）的圖象為G₁，將G₁沿x=m翻折后得到的函數(shù)圖象記為G₂．
∴函數(shù)G的圖象關于x=m對稱，
∴G：y=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x（x≥m）}\\{（2m-x）^{2}-2（2m-x）（x＜m）}\end{array}\right.$，
∵當x²-2x=x時，x₃=0，x₄=3；
當（2m-x）²-2（2m-x）=x時，△=1+8m，
當△＜0，即m＜-$\frac{1}{8}$時，q=x₄-x₃=3；
當△≥0，即m≥-$\frac{1}{8}$時，x₅=$\frac{4m-1+\sqrt{1+8m}}{2}$，x₆=$\frac{4m-1-\sqrt{1+8m}}{2}$，
①當-$\frac{1}{8}$≤m≤0時，x₃=0，x₄=3，
∴x₆＜0，
∴x₄-x₆＞3（不符合題意，舍去）；
②∵當x₅=x₄時，m=1，當x₆=x₃時，m=3；
當0＜m＜1時，x₃=0（舍去），x₄=3，
此時0＜x₅＜x₄，x₆＜0，q=x₄-x₆＞3（舍去）；
當1≤m≤3時，x₃=0（舍去），x₄=3，
此時0＜x₅＜x₄，x₆＞0，q=x₄-x₆＜3；
當m＞3時，x₃=0（舍去），x₄=3（舍去），
此時x₅＞3，x₆＜0，q=x₅-x₆＞3（舍去）；
綜上所述：m的取值范圍為1≤m≤3或m＜-$\frac{1}{8}$．

點評 此題屬于二次函數(shù)的綜合題，考查了二次函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)的對稱性．注意掌握分類討論思想的應用是解此題的關鍵．