Question

已知拋物線y=-x²-2x+a（a＞0）與y軸相交于點A，頂點為M．直線y=

1

2

x+

1

2

a與x軸相交于B點，與直線AM相交于N點；直線AM與x軸相交于C點
（1）求M的坐標(biāo)與MA的解析式（用字母a表示）；
（2）如圖，將△NBC沿x軸翻折，若N點的對應(yīng)點N′恰好落在拋物線上，求a的值；
（3）在拋物線y=-x²-2x+a（a＞0）上是否存在一點P，使得以P、B、C、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）將拋物線的解析式化為頂點坐標(biāo)式，即可求得點M的坐標(biāo)；易知點A坐標(biāo)為（0，a），利用待定系數(shù)法即可求得直線MA的解析式；
（2）聯(lián)立直線MA、直線BN的解析式，即可求得點N的坐標(biāo)，由于點N、N′關(guān)于x軸對稱，那么它們的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，由此可求得點N′的坐標(biāo)，再將其代入拋物線的解析式中，即可求得a的值；
（3）分別過B、C、N作NC、BN、BC的平行線，三線相交于P₁、P₂、P₃三點，則四邊形BP₁CN、四邊形BCP₂N、四邊形BCNP₃都是平行四邊形，易求得B、C的坐標(biāo)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得到P₁、P₂、P₃的坐標(biāo)，然后將它們分別代入拋物線的解析式中，即可求得a的值．

解答：解：（1）已知拋物線：y=-x²-2x+a=-（x+1）²+a+1；
∴M（-1，a+1），
易知：A（0，a），設(shè)直線MA的解析式為y=kx+b，則有：

b=a -k+b=a+1

，
解得

k=-1 b=a

，
∴直線MA：y=-x+a；

（2）聯(lián)立直線MA、直線BN的解析式有：

y=-x+a y= 1 2 x+ 1 2 a

，
解得

x= a 3 y= 2a 3

故N（

a

3

，

2

3

a）；
由題意知：N、N′關(guān)于x軸對稱，那么N′（

a

3

，-

2a

3

）；
若點N′在拋物線的圖象上，則有：
-（

a

3

）²-

2a

3

+a=-

2a

3

，
解得a=9．
故點N′恰好落在拋物線上時，a=9；

（3）分別過B、C、N作NC、BN、BC的平行線（如圖），則四邊形BP₁CN、四邊形BCP₂N、四邊形BCNP₃都是平行四邊形；
易知B（-a，0），C（a，0），N（

a

3

，

2a

3

）；
故P₁（-

1

3

a，-

2

3

a），P₂（

7

3

a，

2

3

a），
P₃（-

5

3

a，

2

3

a）；
把P₁代入拋物線的解析式中，得：
-（-

1

3

a）²-2（-

1

3

a）+a=-

2

3

a，
解得a=21；
把P₂代入拋物線的解析式中，得：
-（

7

3

a）²-2×

7

3

a+a=

2

3

a，
解得a=-

39

49

；
由于a＞0，
故此種情況不成立；
把P₃代入拋物線的解析式中，得：
-（-

5

3

a）²-2（-

5

3

a）+a=

2

3

a，
解得a=

33

25

；
綜上所述，存在符合條件的P點，且此時a的值為：a₁=

33

25

，a₂=21．

點評：此題考查了一次函數(shù)解析式的確定、關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)特征、函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)意義以及平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識．（3）題中，一定要把所有的情況都考慮到，做到不漏解．