(2012•虹口區(qū)一模)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A(0,3),B(1,0)兩點,頂點為M.
(1)求b、c的值;
(2)將△OAB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°后,點A落到點C的位置,該拋物線沿y軸上下平移后經(jīng)過點C,求平移后所得拋物線的表達(dá)式;
(3)設(shè)(2)中平移后所得的拋物線與y軸的交點為A1,頂點為M1,若點P在平移后的拋物線上,且滿足△PMM1的面積是△PAA1面積的3倍,求點P的坐標(biāo).
分析:(1)直接將已知點的坐標(biāo)代入到二次函數(shù)的解析式中求得未知系數(shù)的值即可;
(2)根據(jù)A、B兩點的坐標(biāo)可以求得OA和OB的長,然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求得點C的坐標(biāo),然后向下平移2個單位即可得到平移后的拋物線的解析式;
(3)設(shè)P點的坐標(biāo)為(x0,x02-4x0+1),然后分0<x0<2時和x0<0時兩種情況利用S△PMM1=3S△PAA1得到有關(guān)x0的方程求得x0即可確定點P的坐標(biāo)即可.
解答:解:(1)已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A(0,3),B(1,0)兩點,
3=c
0=1+b+c

解得:
b=-4
c=3

∴b、c的值分別為-4,3;
(2)∵A(0,3),B(1,0),
∴OA=3,OB=1,
可得旋轉(zhuǎn)后C點的坐標(biāo)為(4,1),
當(dāng)x=4時,由y=x2-4x+3得y=3,
可知拋物線經(jīng)過y=x2-4x+3經(jīng)過點(4,3)
∴將原拋物線沿y軸向下平移2個單位后過點C,
∴平移后的拋物線的解析式為y=x2-4x+1.
(3)∵點P在y=x2-4x+1上,可設(shè)P點的坐標(biāo)為(x0,x02-4x0+1),
將y=x2-4x+1配方得y=(x-2)2-3
∴對稱軸為直線x=2,
∵S△PMM1=3S△PAA1 MM1=AA1=2
∴x0<2,
①當(dāng)0<x0<2時,
∵S△PMM1=3S△PAA1,
1
2
×2×(2-x0)=3×
1
2
×2×x0
解得:x0=
1
2

∴x0=
1
2
,此時x02-4x0+1=-
3
4

∴點P的坐標(biāo)為(
1
2
,-
3
4
),
②當(dāng)x0<0時,
同理可得
1
2
×2×(2-x0)=3×
1
2
×2×(-x0
解得:x0=-1,
∴x0=-1,此時x02-4x0+1=6,
∴點P的坐標(biāo)為(-1,6),
綜上所述,可知:點P的坐標(biāo)為(
1
2
,-
3
4
)或(-1,6).
點評:本題考查了二次函數(shù)的綜合知識,特別是本題中涉及到的求二次函數(shù)的解析式更是高頻考點,在第(3)題中分兩種情況討論是解決本題的關(guān)鍵.
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±1
±1

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(2012•虹口區(qū)一模)已知向量
a
、
b
、
x
滿足關(guān)系式3(
a
-
x
)-2
b
=
0
,那么用向量
a
b
表示向量
x
=
a
-
2
3
b
a
-
2
3
b

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(2012•虹口區(qū)一模)點A(-1,y1)、B(2,y2)、C(4,y3)是拋物線y=-x2+2x+3上的三點,則y1、y2、y3的大小是
y3<y1<y2
y3<y1<y2

(用“<”連接).

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